Зміст
1. Теоретична частина
.1 Теорія математичного програмування. Однокритеріальних оптимізація. Необхідні і достатні умови для локальних екстремумів гладких функцій
.2 Методи пошуку глобального екстремуму функції кількох змінних. Умови Куна-Таккера. Умова Слейтера
.3 Лінійне програмування. Кутові точки допустимих множин
.4 Нелінійне програмування. Постановка загальної задачі нелінійного програмування
. Практична частина
.1 Метод Ньютона
Список літератури
1. Теоретична частина
.1 Теорія математичного програмування. Однокритеріальних оптимізація. Необхідні і достатні умови для локальних екстремумів гладких функцій
Умови екстремуму є основою, на якій будують методи розв'язання задач оптимізації. Вони визначають інформацію про властивості рішення. У цьому розділі будуть розглянуті умови екстремуму задачі мінімізації без обмежень:
.
. Поняття локального та глобального екстремумів. Точка називається точкою локального мінімуму функції f (x), якщо, де - околиця точки. p> Точка називається точкою глобального мінімуму функції f (x), якщо.
Точка х називається стаціонарною, якщо в ній виконана умова
. (1.1)
Теорема 1.1. (Необхідна умова 1 порядку). Нехай - точка мінімуму f (x),, і f (x) диференційована в, тоді виконується умова стаціонарності (1.1). p> Доказ випливає з можливості лінійного подання функції в точці.
Не всяка з точок, що задовольняють (1.1), є точкою мінімуму.
Теорема 1.2. (Достатня умова 1-го порядку). Нехай f (x) - опукла функція, що диференціюється в точці, і виконана умова (1.1). Тоді - точка глобального мінімуму f (x) на. p> Доказ випливає з
Теорема 1.3. (Необхідна умова 2-го порядку). Нехай-точка мінімуму f (x), і f (x) двічі диференціюється в. p> Тоді.
Теорема 1.4. (Достатня умова 2-го порядку). Нехай в точці функція f (x) двічі диференційовна, виконана умова (1.1) і. Тоді точка - точка локального мінімуму. p> Теорема 1.5. (Існування рішення). Нехай f (x) неперервна на і безліч для деякого A не порожньо й обмежено. Тоді існує точка глобального мінімуму на. p> Теорема 1.6. Точка мінімуму суворо опуклої функції, якщо вона існує, єдина. p> Теорема 1.7. Точка мінімуму сильно опуклої функції існує і єдина. p> Основні теореми диференціального числення: Теорема Ферма (необхідна умова екстремуму для гладких функцій)
Нехай f (x) функція, задана на закритому інтервалі [a, b], дифференцируемая на відкритому (a, b) така що в точці С виконано: є точкою екстремуму, тобто точкою максимуму або мінімуму. Тоді в точці С похідна дорівнює нулю. p> Док-во: Нехай С - точка максимуму, тобто аналогічно З точка мінімуму, тобто , Тоді. Оцінимо при х> С і 0 при. Тоді, переходячи до межі, при х? З отримаємо, а це можливо тільки...
