ігається з кількістю невідомих, СЛАР називають квадратної.
Ми зупинимося на рішенні тільки таких СЛАР, у яких матриця є квадратною і невиродженому. У цьому випадку система має рішення і притому єдине. Для його знаходження використовують різні методи. p> Якщо в методі рішень СЛАР зафіксувати певний порядок перетворень (а будь чисельний метод повинен базуватися на точному порядку обчислень), то вийти чисельний метод, відомий як метод Гаусса виключення невідомих або просто метод Гауса).
Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими.
(2)
позначимо через
А =
матрицю коефіцієнтів системи (2), через
b = - стовпець її вільних членів, і через
x = - стовпець з невідомих (вільний вектор)
тоді система (2) може бути записана у вигляді матричного рівняння Ax = b.
При вирішенні СЛАР методом Гауса всілякі перетворення виробляють не над рівняннями (2), а над так званою розширеною матрицею системи, яка виходить шляхом додавання до основної матриці А стовпця вільних членів b .
Перший етап рішення системи рівнянь, званий прямим ходом методу Гауса, полягає у приведенні розширеної матриці (2) до трикутного вигляду. Це означає, що всі елементи матриці (2) нижче головної діагоналі повинні бути рівні нулю. br/>
= (3)
Для формування першого стовпця матриці (4) необхідно з кожного рядка (починаючи з другої) вирахувати першу, помножену на деяке число М .
= (4)
У загальному вигляді цей процес можна записати так:
-я рядок = 2-й рядок - М * 1-й рядок
-я рядок = 3-й рядок - М * 1-й рядок
...
i -я рядок = i -й рядок - М * 1-й рядок
...
n -я рядок = n -й рядок - М * 1-й рядок
Зрозуміло, що перетворення елементів другого рядка буде відбуватися за формулами:
В В В
Так як з метою даних перетворень є обнулення першого елемента рядки, то М вибирається з умови:
В
М =
Елементи третього рядка і коефіцієнт М можна розрахувати аналогічно:
В В В В
М =
Таким чином перетворення i -го рядка буде відбуватися таким чином:
В В В
Коефіцієнт М для i -го рядка вибирається з умови:
В
і дорівнює
М =
Після проведення подібних перетворень для всіх рядків матриця (3) прийме вигляд:
В
Очевидно, що якщо повторити описаний вище алгоритм для наступних стовпців матриці (3), причому починати перетворювати другий стовпець з третього елемента, третій стовпець - з четвертого і т.д., то в результаті буде отримана матриця (4).
Зауважимо, що якщо в матриці (3) на головній діагоналі зустрітися елемент, рівний нулю, то розрахунок коефіцієнта
В
для до -го рядк...
