а буде неможливий. Уникнути ділення на нуль можна, позбувшись від нульових елементів на головній діагоналі. Для цього перед обнуленням елементів у до -м стовпці необхідно знайти в ньому максимальний по модулю елемент, запам'ятати номер рядка, в якій він знаходитися, і поміняти її місцями з до -й . p> В результаті виконання прямого методу Гауса матриця (3) перетворюється в матрицю (4), а система рівнянь (2) буде мати наступний вигляд:
(5)
Рішення системи (5) називають зворотним ходом методу Гауса.
Останнє n-е рівняння системи (5) має вигляд:
.
Тоді, якщо, то
.
У разі, якщо і,
то система (5), а отже і система (2) має нескінченну безліч рішень.
При і
система (5), а значить, і система (2) рішення не має.
Передостаннє ( n -1)-е рівняння системи (5) має вигляд:
.
Значить
В
Наступне ( n -2)-е рівняння системи буде виглядати так:
.
Звідси маємо
В
або
В
Таким чином, формула для обчислення i -го значення x буде мати вигляд:
В
Обчислення зворотної матриці методом Гаусса.
Один з методів обчислення зворотної матриці заснований на вирішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Нехай задана деяка матриця А:
(6)
Необхідно знайти матрицю, яка є зворотною до матриці А:
(7)
Матриця (7) буде зворотною до матриці (6), якщо виконується співвідношення
,
де Е - це одинична матриця, або більш докладно:
(8)
Результат перемноження матриць із співвідношення (8) можна представити поелементно у вигляді n -го числа систем лінійних рівнянь. Множення матриці (6) на перший стовпець матриці (7) дасть перший стовпець одиничної матриці:
.
Система отримана в результаті множення матриці на i -й стовпець матриці (7), буде виглядати наступним чином:
В
Зрозуміло, що n -я система буде мати вигляд:
В
Рішенням кожної з наведеної вище систем буде i -й стовпець зворотної матриці. Кількість систем дорівнює розмірності зворотної матриці. Для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь можна скористатися методом Гаусса. br/>
Обчислення визначника методом Гауса
Нехай задана матриця (3), необхідно обчислити її визначник. Для цього матрицю необхідно перетворити до трикутного вигляду (4), а потім скористатися властивістю, відомим з курсу лінійної алгебри, яке свідчить, що визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів:
.
Перетворення матриці (3) до виду (4) можна здійснити за допомогою прямого ходу Гаусса.
Алгоритм обчислення визначника матриці, являє собою алгоритм прямого ходу ...
