= 0, 1, 2, ..., n . (2)
Іншими словами, інтерполяція - знаходження многочлена виду (1), який на відрізку [ a , b ] був би наближенням для функції y = f ( x ).
Многочлен (1) називається інтерполяційним многочленом , точки - вузлами інтерполяції
.
Інтерполяційна формула Лагранжа
Розглянемо питання про відшукання коефіцієнтів інтерполяційного многочлена (1). p align="justify"> інтерполяція поліном Лагранж математика
Підставляючи цей многочлен в систему (2), отримуємо систему n +1 рівнянь першого ступеня з n +1 коефіцієнтами:
В
Вирішуючи систему, знаходимо коефіцієнти і, підставляючи їх в (1) отримуємо шуканий інтерполяційний многочлен. Однак на практиці цей спосіб пов'язаний з громіздкими обчисленнями при вирішенні системи. p> Тому інтерполяційний многочлен (1) будемо шукати у вигляді:
(4)
Вважаючи в (4) x = та враховуючи умови (2) отримаємо:
,
звідки =
Вважаючи в (4) x = отримаємо:
,
звідки
=
Аналогічно знайдемо
=
.....................
=
Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів у формулу (4), отримуємо шуканий многочлен
= + +
. + (5)
Формула (5) називається інтерполяційної формулою Лагранжа.
Приклад. Знайти многочлен другого ступеня, наближено виражає функцію f ( x ). br/>
x 0 = 1 x 1 = 3 x 2 = 5 y 0 < span align = "justify"> = 2 y 1 = 1 < i align = "justify"> y 2 = 8
Рішення. За формулою (5) знаходимо
= + +
= 2 + +
= x +
Блок - схема алгоритму.
В
2. Практична частина
Реалізація
Для середовища розробки був обраний програмний продукт MatLab, так як він дуже зручний для математичних операцій та побудови графіків.
Лістинг:. m
function f = LagrangeP (x, y, r)
% (x, y) масиви координат точок
m = length (r);
nx = length...
