йому не стане це вигідно) і це призведе до падіння (зростання) сьогоднішньої ціни і зростанню (падінню) майбутньої ціни (тобто змінить траєкторію ціни). Таким чином, ринкові механізми виштовхують траєкторію ціни і видобутку природного ресурсу до єдино можливої вЂ‹вЂ‹рівноважної ситуації. [По 6]
Таким чином, ми отримали правило Хотеллінга: в умовах 1-6, рівновагою є стан, при якому ціна на обмежений природний ресурс росте зі швидкістю, що дорівнює ставці відсотка P */ P = r .
Математично, вираз P */P = r тотожне експоненційної формі P t = P 0 e rt , де Р 0 - початкова ціна природного ресурсу. Тобто, рівноважної траєкторією є ситуація, в якій ціна росте по експоненті. Графічно це правило виглядає так [6]:
В
Потрібно сказати, що припущення про нульові витратах видобутку означає, що ціна на природну сировину відображає чисті вигоди від видобутку природного ресурсу і тому, при прийнятті рішення про траєкторії видобутку, власнику природного ресурсу доцільно зіставляти равновременние вигоди від видобутку, дисконтовані до поточного моменту. Тобто, якщо ціна зростає за правилом Хотеллінга, то різночасові дисконтовані вигоди власника ресурсів від видобутку постійні і, більше того, дорівнюють початковою ціною Р 0 . [По 6]
За припущеннями правила Хотеллінга природна сировина продається на ринку вільної конкуренції, причому функція попиту D постійна в часу. Рівень видобутку в кожен момент часу визначається попитом на ресурс Q t = D -1 (P t ). Оскільки функція попиту є спадної за ціною, а ціна росте в часі за правилом Хотеллінга, то видобуток падає в часі
Графік 2: Траєкторія видобутку
Таким чином видно, що на ринку вільної конкуренції є вбудований механізм, який уповільнює виснаження обмеженого природного ресурсу із зростанням його дефіцитності. [6]
Можна так само показати, що динамічна рівновага, що описується правилом Хотеллінга, є Парето оптимальним, тобто оптимальним з точки зору суспільства. Для цього запишемо динамічну модель максимізації суспільного добробуту від експлуатації невідновних природного ресурсу: U (Q t ) = 0 ∫ Qt D (x) dx, де крива попиту описується рівнянням P = D (Q). p> З точки зору суспільства оптимальним є такий режим експлуатації запасу ресурсу невідновних ресурсу, при якому досягається максимізація дисконтованої суми суспільного добробуту за всі роки експлуатації запасу Z: max 0 ∫ T U (Q t ) e - rt dt при обмеженнях: U (Q t ) = 0 ∫ Qt D (x) dx і U (Q t ) = 0 ∫ T Q t ≤ Z.
Вирішуючи цю модель методами динамічного програмування, отримуємо, що необхідною умовою максимуму є виконання співвідношення D *-rD = 0, а оскільки D (Q) = P, то необхідне умова максимуму можна переписати як P */P = r. Таким чином, динамічне конкурентна рівновага, що описується правилом Хотеллінга, максимізує суспільний добробут. [6]
2.Ослабленіе умов Хотеллінга
У реальному світі фактично неможливе виконання всіх вимог (умов) Хотеллінга. Тому постараємося трохи наблизити його модель до життя шляхом ускладнення моделі і потім подивимося, як це вплине на загальні висновки, зроблені автором цієї моделі. Для цього спочатку скасуємо умова про безвитратного видобутку природного ресурсу, потім умова про постійність і визначеності щодо запасів ресурсу, і на останок розглянемо який вплив надає на результат структура ринку. Отже ...
2.1 Витрати видобутку природного ресурсу не рівні нулю
Припустимо, витрати на видобуток одиниці природного ресурсу постійні в часі і рівні MC (тоді функція загальних витрат буде залежати від обсягу накопичених ресурсів). Тоді при видобутку ресурсу власник орієнтуватиметься на ресурсну ренту R t = P t -MC тобто на чистий дохід з одиниці природного ресурсу (а не ціна, як у вихідному випадку). p> Правило Хотеллінга в цьому випадку модифікується в такий спосіб: R */R = r, тобто в рівновазі рента зростає темпом відсотка.
Оскільки витрати не змінюються в часі, то приріст ренти в часі дорівнює приросту ціни в часі R * = P *. Звідси R */R = P */(P-MC) = r. Знаменник P-MC
P */P. Нагадаємо, що ліва частина дорівнює ставці відсотка. Отже, при ненульових витратах видобутку ціна зростає темпом меншим, ніж ставка відсотка. Цей результат можна поширити на більш загальний випадок: чим вище витрати видобутку, ...
