дку їх зростання. У другому рядку таблиці записують коефіцієнти з непарними індексами в порядку їх зростання. У наступні рядки вписують коефіцієнти, що визначаються як
Умови стійкості Рауса: Щоб САУ була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса мали один і той же знак, тобто були позитивними. Якщо не всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса позитивні, тобто САУ нестійка, число правих коренів характеристичного рівняння дорівнює числу змін знака в першому стовпці таблиці Рауса.
У даній роботі, оскільки кількість коефіцієнтів мало, зручніше використовувати критерій стійкості Гурвіца.
Знайдемо область стійкості за критерієм Гурвіца. Для цього складемо з коефіцієнтів матрицю і зажадаємо, щоб її головні мінори були позитивні.
k 3 k 2 0 1k 1 0 0k 3 k 2 k 3 gt; 0 1 k 3 - k 2 gt; 0 2 (k 1 k 3 - k 2) gt; 0
т.к. k 1 k 3 - k 2 gt; 0, то в останньому нерівності досить вимагати, щоб k 2 gt; 0. У підсумку маємо систему:
3 gt; 0 2 gt; 0 1 k 3 gt; k 2
Знайдемо область стійкості спочатку для двох коефіцієнтів k 2 і k 3:
Далі будемо підбирати k 1 так, щоб виконувалася нерівність k 1 k 3 gt; k 2.
4. Підбір коефіцієнтів для визначення найбільшої стійкості системи
Для побудови перехідного процесу помножимо передавальну функцію на Хз
отримаємо
Візьмемо для початку k1=3 k2=0,1 k3=2
За допомогою системи MatLab розкладемо нашу дріб на суму простих дробів.
gt; gt; [R, S, K]=RESIDUE (c, d)=
.4998 - 0.3627i
.4998 + 0.3627i
.0004
.0000=
.9830 + 1.4024i
.9830 - 1.4024i
.0341
=
[]
Тут R - вектор числителей нашої суми дробів, S - корені полінома в знаменнику.
Тепер отримуємо оригінал за формулою
за допомогою функції
gt; gt; y=R (1). * (Exp (S (1). * T)) + R (2). * (Exp (S (2). * T)) + R (3). * (Exp (S (3). * T)) + R (4). * (Exp (S (4). * T));
Потім виводимо графік функції:
gt; gt; plot (t, y)
У даному випадку ми спостерігаємо досить велике відхилення (близько 0.3) і досить тривале (5 сек) час нормалізації.
Спробуємо збільшити k2: k1=3 k 2 =1 k3=2
Бачимо, що збільшилася відхилення (більше 0.3) і час (близько 6 сек).
Збільшуємо інші коефіцієнти: k 1 =9 k2=1 k 3 =11
Відхилення і час нормалізації помітно зменшилися. Спробуємо збільшити k21=9 k 2 =2 k3=11
Знову спостерігаємо поліпшення по всіх параметрах. Збільшуємо k2 ще на 1.
1=9 k 2 =3 k3=11
Помітних змін немає. Значно збільшуємо k2
1=9 k 2 =9 k3=11
Помітна втрата стійкості. Для перевірки ще збільшимо k2
1=9 k 2 =30 k3=11
Бачимо, що k2 збільшувати не варто.
Спробуємо збільшити інші коефіцієнти
1 =17 k2=1 k 3 =15
Час стабілізації скоротилося до 3-х, відхилення - до 0,05. Спробуємо збільшити k2
1=17 k 2 =2 k3=15
Бачимо, що зросла відхилення. Зменшуємо k2
1=17 k 2 =0,1 k3=15
Відхилення і час зменшилися, збільшуємо коефіцієнти
1 =30 k 2 =1 k 3 =30
Відхилення стало менше 0.03, що на даний момент є найкращим результатом. Знаючи, що k2 краще зменшувати, зменшимо його
1=30 k 2 =0,1 k3=30
Бачимо, що відхилення тепер становить близько 0.025, час - близько 3.
Це найменші результати, яких нам вдалося досягти, тому будемо вважати, що за даних коефіцієнтах система найбільш стійка.
Висновки
На прикладі був досліджений ПІД-регулятор. Побудована область стійкості за допомогою критерію Гурвіца.
Математична модель реальної системи не вибирається однозначно, це пов'язано з тим, що існують чинники, вплив яких можна перевірити лише експериментально. Але вона повинна якомога повніше відображати властивості оригіналу, і залишатися по можливості простою щоб не ускладнювати дослідження.
...
