члени, називаються рекурентними. p align="justify"> Властивості послідовностей
Послідовність, всі члени якої дорівнюють одному і тому ж числу, називається постійною.
Послідовність { xn } називається неубутною (незростаюча), якщо " n: xn ВЈ xn +1 (відповідно, " n : xn Ві xn +1). Незростаюча і неубутною послідовності об'єднують загальним терміном - монотонні послідовності.
Послідовність { xn } називається зростаючою (спадною), якщо " n: xn < xn +1, (відповідно, " n: xn > xn +1). Зростаючі і спадні послідовності об'єднують загальною назвою - суворо монотонні послідовності.
Послідовність { xn } називається обмеженою зверху (обмеженої знизу), якщо існує таке число М, що всі члени послідовності менше (відповідно, більше), ніж М. Послідовність, обмежена зверху і знизу одночасно, називається обмеженою.
Послідовність { xn } називається необмеженою, якщо для будь-якого М > 0 знайдеться такий її член xn, що Г§ xn Г§> М .
Межа послідовності
Число а називається межею послідовності { xn } , якщо для будь-якого позитивного числа e можна підібрати такий номер N (як правило, залежний від e ), що, починаючи з цього номера (тобто для всіх n Ві N), буде виконано нерівність
Г§ xn - a Г§ < < span align = "justify"> e .
У разі, якщо послідовність має межею число а, говорять також, що послідовність { xn < span align = "justify">} сходиться до числа а, і позначається цей факт так:
або xn В® a при (n В® ВҐ).
Якщо послідовність не має межі, то говорять, що вона розходиться.
Геометричний сенс границі послідовності полягає в наступному: число а називається межею послідовності { xn } , якщо в будь-якому інтервалі з центром в точці а знаходяться майже всі (тобто всі, крім кінцевого числа) члени цієї послідовності.
Операції над межами послідовностей
Межа суми (різниці) двох збіжних послідовностей дорівнює сумі (різниці) їх меж:
Гћ
Межа твори двох збіжних послідовностей дорівнює добутку їх меж:
Гћ
Зокрема:
- постійний множник можна виносити за знак межі:
сГЋR Гћ
- межа натуральної мірою від сходящейся послідовності дорівнює цієї мірою від її межі:
Гћ к = 1,2,3, ...
Межа кореня к-ой ступеня від сходящейся послідовності дорівнює кореню цієї ж мірою від границі послідовності:
к = 2,3,4, ... Гћ
Межі й нерівностей
