"> Нехай всі члени даної сходящейся послідовності ненегативні. Тоді її межа також неотрицателен:
xn Ві 0 "n Гћ a Ві 0.
Нехай кожен член однієї сходящейся послідовності більше або дорівнює відповідному члену іншої сходящейся послідовності. Тоді і межа першої послідовності більше або дорівнює межі другої послідовності:
, xn Ві yn "n Гћ a Ві b.
Нехай відповідні члени трьох даних послідовностей { xn } , { yn } і { zn } задовольняють умові xn ВЈ yn ВЈ zn.
Тоді якщо послідовності { xn } і { zn } сходяться до одного і того ж межі, то послідовність { yn } також сходиться до цієї межі:
xn ВЈ yn ВЈ zn, "n, Гћ
Число е
Послідовність зростає і обмежена зверху, а тому сходиться. Її межею є чудове ірраціональне число е = 2,71828182845 ..., що служить підставою натуральних логарифмів. p> Таким чином,
В
ТЕМА 3. Функція однієї змінної. Графіки елементарних функцій
Поняття функції
Якщо кожному елементу (значенням) х множини Х поставити у відповідність певний елемент (значення) у безлічі У, то кажуть, що на множині Х задана функція y = f (x); при цьому безліч Х називається областю визначення функції y, а безліч У - областю значень функції у.
Основні характеристики функції
Функція y = f (x) називається парною, якщо для будь-яких значень х з області визначення функції f ( - x) = f (x), і непарною, якщо f ( - x) = - f (x). В іншому випадку f (x) - функція загального вигляду.
Функція f (x) називається зростаючою (спадною) на деякому проміжку Х, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції f (x). Зростаючі і спадні функції називаються монотонними. p align="justify"> Функція f (x) називається обмеженою на проміжку Х, якщо існує таке число М > 0, що ВЅ f (x) ВЅ < М, для всіх х ГЋ Х. В іншому випадку функція називається необмеженою.
Функція f (x), визначена на множині Х, називається періодичною на цій множині, якщо існує таке число Т > 0, що при будь-якому х ГЋ Х значення (х + Т) ГЋ Х і f (x + T) = f (x).
При цьому число Т називається періодом функції.
Зворотній функція
Нехай задана функція y = f (x) з областю визначення Х і безліччю значень У. Якщо кожному значенню у ГЋ У відповідає єдине значення х ГЋ Х, то визначена функція х = j (у) з областю визначення У і безліччю значень Х. Така функція j (у) називається оберненою до функції f (x) і записується в наступному вигляді:
x = j (у) =
Про функції y = f (x) і x = j (y) говорять, що вони є взаємно зворотними .
Складна функція
Якщо функція y = f (u) є функція змінної u (визначеної на множині U з областю значень У), а змінна u, у свою чергу, також є функцією u = j
