але менше будь-якого стандартного позитивного числа. Щоб довести це, ми повинні згадати, як визначається порядок на множині гіпердействітельних чисел. Він визначається відповідно до загальної схемою побудови гіпердействітельного аналога для будь-якого відношення на множині дійсних чисел. Треба взяти функцію f двох дійсних аргументів, для якої властивості f (x, y) = 0 і х < у рівносильні, і розглянути її гіпердействітельний аналог * f. Гіпердействітельное число х називається меншим гіпердействітельного числа у, якщо * f ( x , y ) = 0 . Подивимося, що дає нам ця конструкція для побудованої описаним способом системи гіпердействітельних чисел. Якщо х - клас послідовності x0, x1, x2, ..., а y - клас послідовності y0, y1, y2, ..., то * f (x, y) є клас послідовності f (x0, y0), f (x1, y1), f (x2, y2), ... Рівність цього класу нулю (тобто класу послідовності 0, 0, 0, ...) означає, що f (xn, yn) = 0 для більшості n, тобто що xn п. Таким чином, щоб з'ясувати, чи вірно х < у для гіпердействітельних чисел х і y, потрібно взяти послідовності x0, x1, x2, ..., і y0, y1, y2, ... у класах х і у і з'ясувати, чи є безліч тих п, при яких xn
Нам потрібно було перевірити, що 0 <р для будь-якого стандартного позитивного р (e-клас послідовності 1, 1/2, 1/3, ...). Це просто:
0 1/п при всіх п (а безліч N большое), e < р, так як 1/n < р для всіх натуральних n, крім кінцевого числа, а всяке безліч з кінцевим доповненням мале (Властивість 6 "системи підрахунку голосів"). Зазначимо, що тут ми вперше скористалися властивістю 6, досі всі наші міркування були справедливі і у випадку "диктатури" (коли великими вважаються ті і тільки ті безлічі, які містять деяке натуральне число N). У цьому випадку дві послідовності еквівалентні, якщо збігаються їх N-е члени, і все гіпердействітельние числа стандартні (клас послідовності x0, x1, x2, ... збігається зі стандартним числом x N ).
В В
ЛІТЕРАТУРА
1. Успенський В.А. Що таке нестандартний аналіз? - М., Наука, 1987. - 128с. p> 2. Девіс М. Прикладної нестандартний аналіз. - М., Мир, 1980. p> 3. Успенський В.А. Нестандартний, або неархімедов, аналіз. - М., Володіння, 1983. 61 с. (Нове у житті, науці, техніці. Сер. "Математика, кібернетика "№ 8).
4. Успенський В.А. Нестандартний аналіз// Наука і життя, 1984. - № 1. - С. 45-50. p> 5. Робінсон А. Введення в теорію моделей і математику алгебри. пров. з англ. - М., Наука, 1967. br/>
