значеннями. Визначимо її гіпердействітельний аналог * f: * R В® * R. Нехай x - довільне гіпердействітельное число, тобто клас еквівалентних послідовностей дійсних чисел. Розглянемо довільну послідовність x 0 , x 1 , x 2 , ... з цього класу і застосуємо f до всіх її членам. Клас, що містить отриману последоваетльность f (x0), f (x1), f (x2), ... і будемо вважати значенням f на х. Отриманий клас не залежить від вибору послідовності x 0 , x 1 , x 2 , ... в класі x (визначення коректно). p> Аналогічно визначаються і гіпердействітельние аналоги для функцій декількох аргументів. Нехай, наприклад, f - функція двох дійсних аргументів з дійсними значеннями. Визначимо її гіпердействітельний аналог * f. Щоб застосувати * f до двох гіпердействітельним числах х і y, візьмемо послідовності x 0 , x 1 , x 2 , ... і y 0 , y 1 , y 2 , ..., їм належать, і в якості * f (х, у ) розглянемо клас послідовності f (x0, y0), f (x1, y1), f (x2, y2), ... Визначення коректно.
Потрібно перевірити, що побудоване гіпердействітельние аналоги будуть продовженнями вихідних функцій з дійсними аргументами і значеннями. Це очевидно випливає з визначень. Перевіримо тепер, що будь-яка система рівнянь і нерівностей, що має гіпердействітельние рішення, має і дійсні рішення. Нехай, на-приклад, система
f (g (x, y), z) = z, h (x) В№ h (y)
має гіпердействітельние рішення x, y, z. Розглянемо послідовності x0, x1, x2, ...; y0, y1, y2, ...; z0, z1, z2, ..., належать відповідними класами еквівалентності. Тоді g (x0, y0), g (x1, y1), ... належить класу g (x, y) , а f (g (x0, y0), z0), f (g (x1 , y1), z1), ... - класу f (g (x, y), z). Оскільки x, y, z за припущенням є рішеннями системи, то f (g (x n , y n ), z n ) = z n для більшості п. Оскільки h (x) В№ h (y), послідовності h (x0), h (x1), ... і h (y0), h (y1), ... не еквівалентні і безліч тих п, при якому h (x n ) = h (y n ) мале. Тоді безліч тих п, при якому h (x n ) В№ h (y n ) є біль-шим. Так як перетин двох великих множин є великим, то безліч тих n, при якому
f (g (x n , y n ), z n ) = z n , h (x n ) В№ h (y n )
є великим. Значить, воно непорожньо. Таким чином, система має і дійсні рішення.
Залишилося перевірити, що серед гіпердействітельних чисел існують нескінченно малі, відмінні від нуля. Позитивним нескінченно малим гіпердействітельним числом буде, наприклад, клас послідовності 1, 1/2, 1/3,.,. (Або будь-який інший послідовності позитивних дійсних чисел, що сходиться до 0). Нам потрібно перевірити, що це гіпердействітельное число (позначимо його через e) позитивно,...
