тому, якщо існує обхід, то число чорних клітин дорівнює числу білих, що невірно.
4.3. Дан куб 6х6х6. Знайти максимально можливе число паралелепіпедів 4х1х1 (зі сторонами паралельними сторонам куба), які можна помістити в цей куб без перетинів.
Ідея рішення.
Легко помістити 52 паралелепіпеда всередину куба. Доведемо, що не можна більше. Розіб'ємо куб на 27 кубиків 2х2х2. Розфарбуємо їх у шаховому порядку. При цьому утворюється 104 клітини одного кольору (білого) і 112 - іншого (чорного). Залишилося помітити, що кожен паралелепіпед містить дві чорних і дві білих клітини.
Відповідь: 52.
4.4. Пряма розфарбована в 2 кольори. Доведіть, що знайдуться 3 точки А, В, С одного кольору такі, що AB = ВС.
4.5. Розфарбуйте пряму в 3 кольори так, щоб не можна було знайти трьох точок А, В, С різного кольору таких, що AB = ВС. p> 5. Площина розфарбована а) в 2 кольори, б) в 3 кольори. Доведіть, що знайдуться 2 точки одного кольору, відстань між якими дорівнює 1
Ідею, винесену в заголовок, добре ілюструє наступна задача. 4.6. Мається квадрат 8Х8, у якого видалені дві кутові клітини, розташовані на одній діагоналі. Чи можна цей квадрат замостити кісточками доміно розмірами 1Х2? Рішення дає нам правильна В«шаховаВ» розмальовка цієї дошки. Кожна кісточка доміно закриває дві клітини різного кольору, у той час як клітин чорного і білого квітів різну кількість.
А ось ще два завдання на цю ідею.
4.7. Ділянка прямокутної форми розбитий на квадрати, що утворюють n рядів по m квадратів в кожному ряду. Кожен квадрат є окремою ділянкою, сполученим хвіртками з усіма сусідніми ділянками. За яких m і n можна обійти всі квадратні ділянки, побувавши в кожному по одному разу, і повернутися в первісний?
Рішення.
Розфарбуємо квадрати в шаховому порядку. При кожному переході змінюється колір квадрата. Тому, якщо такий маршрут можливий, то число кроків має бути парним, тобто m або n парне. Залишилося перевірити, що в цьому випадку шуканий маршрут можливий. p> 4.8. Всі ми в дитинстві грали в В«морський бійВ». Нагадаємо, що грається він на квадраті 10Х10, на картатій папері. В«ЛінкорВ» в цій грі називається В«корабельВ» 1х4. У зв'язку з цим виникає питання: чи можна весь квадрат для морського бою розрізати на 25 лінкорів? А до речі, дайте відповідь ще на одне питання: яке найменше число В«пострілівВ» треба зробити, щоб напевно хоча б один раз потрапити в лінкор, самотньо плаваючий по морю?
Рішення.
Розфарбуємо клітини в 4 кольору, як на рис. 36. Кожен В«лінкорВ» закриває чотири клітини різного кольору. Але клітин кольору 2 всього 26, а В«лінкорівВ» має бути 25. p> Ця ж розмальовка допомагає відповісти і на друге питання. Найменше число пострілів дорівнює числу клітин кольору 4, тобто 24.
5. Завдання з цілими числами . Парні і непарні числа
