b>
Зазвичай парні і непарні числа пов'язують тільки з натуральними числами. Тут ми поширимо їх на будь-які цілі числа. Ціле число називається парних, якщо воно ділиться на 2, і непарних, якщо воно на 2 не ділиться.
Будь-яке парне число можна представити у вигляді 2 а , а будь-яке непарне - у вигляді 2 а + 1, де а - ціле число.
Два цілих числа називаються числами однаковою парності , якщо обидва вони парні чи обидва непарні. Два цілих числа називаються числами різної парності , якщо одне з них парне, а інше непарна.
Розглянемо властивості парних і непарних чисел важливі, для вирішення завдань.
1) Якщо хоча б один множник твори двох (або декількох) чисел четен, то і всі твір парне.
2) Якщо кожен множник твори двох (або декількох) чисел непарне, то і всі твір непарній.
3) Сума будь-якої кількості парних чисел є число парне.
4) Сума парного і непарного чисел є число непарне.
5) Сума парного кількості непарних чисел є число парне; сума непарної кількості непарних чисел є число непарне.
Завдання
5.1. У п'ятиповерховому будинку з чотирма під'їздами підрахували число жителів на кожному поверсі і, крім того, в кожному під'їзді. Чи можуть усі отримані 9 чисел бути непарними?
Рішення.
Позначимо число жителів на поверхах відповідно через а1, А2, А3, А4, а5, а число жителів у під'їздах - відповідно через b 1, b 2, b 3, b 4. Тоді загальне число жителів будинку можна підрахувати двома способами - по поверхах і по під'їздах:
a1 + а2 + а3 + а4 + а5 = b 1 + B2 + b3 + b 4.
Якби всі ці 9 чисел були непарними, то сума в лівій частині записаного рівності була б непарної, а сума в правій частини - парною. Отже, це неможливо. p> Відповідь: не можуть.
5.2. У футбольному турнірі в одне коло беруть участь 15 команд. Доведіть, що в будь-який момент турніру знайдеться команда, яка зіграла до цього моменту парне число матчів (може бути, жодного).
Рішення.
Позначимо число матчів, проведених першої, другий, третій, і т. д. командами, через а1, а2, а3, ..., А15.
Припустимо, що всі ці 15 чисел непарні. Підрахуємо загальне число матчів, проведених командами. Воно дорівнює
(а1 + а2 + ... + А15)/2.
Але чисельник дробу є число непарне, як сума непарного числа непарних доданків. Тоді загальне число матчів є число дробове. Отримали протиріччя. p> Затвердження завдання є окремий випадок однієї з теорем теорії графів.
5.3. парні або непарні твір
(7а + b - 2 c +1) (3 a - 5 b + 4 ...
