тернативи вихідного безлічі відображають в вектори для можливості використання критеріїв у математичних виразах, тому надалі будемо вважати, що рішення - це n-мірний вектор, або крапка. Відповідно, і вихідне, і результуюче безлічі альтернатив - це безлічі векторів (точок).
Якщо знайдене рішення, для якого не існує кращої альтернативи, то таке рішення називається Парето-оптимальний. Зауважимо, що парето-оптимальних рішень може бути більше одного. Вони утворюють безліч Парето, що є, відповідно, підмножиною вихідного безлічі. Для визначення знаходження обраної альтернативи в множині Парето досить порівняти її з іншими альтернативами вихідного безлічі, використовуючи бінарне відношення, визначене на вихідному множині. Якщо жодна з них не виявилася кращою, значить, обрана альтернатива належить безлічі Парето. У такому випадку говорять, що дана альтернатива недомініруемих на вихідному множині. Елементи множини Парето - це рішення, недомініруемих на вихідному множині. Також неможливо порівняти між собою елементи множини Парето, використовуючи визначене на вихідному безлічі бінарне відношення. У такому випадку говорять, що елементи непорівнянні між собою.
Зв'язок між будь-якою парою альтернатив визначається послідовністю бінарних відносин. Сильним бінарним відносинам відповідають великі вимоги до переваги однієї альтернативи над іншою і, отже, більше число непорівнянних альтернатив. Найсильнішим є повне домінування однієї альтернативи над іншою. Більш слабкі" бінарні відносини визначають умови, при яких, незважаючи на суперечливі оцінки, одна альтернатива оголошується кращої, ніж інша.
На основі обраного бінарного відношення здійснюється попарне порівняння всіх альтернатив, причому альтернативи, що опинилися кращими при всіх порівняннях виділяються в нове безліч, зване ядром. Розмір ядра характеризується кількістю альтернатив. Якщо бінарне відношення є відношенням домінування однієї альтернативи над іншою, при якому одна альтернатива має по всіма критеріями не гірші, а хоча б по одному з критеріїв кращі оцінки, то з'явилося при цьому ядро ??є безліччю Парето.
однокритеріальних завдання в умовах визначеності
Найпростіша ситуація вибору виникає, коли прийняття конкретного рішення x призводить до однозначного результату y, оцінюваному за допомогою єдиного критерію. Передбачається однозначна залежність y=j (x). Цінність" (корисність) результатів можна визначити функціоналом: F: Y? E, де y=j (x). Таким чином кожному x відповідає числова оцінка f (y)=f (j (x)).
Функціонал F дозволяє в явному вигляді відобразити систему переваг ОПР. Будемо вважати, чим більше значення F, тим більш краща дана альтернатива.
Позначимо суперпозицію функцій f і j через F, приходимо до оптимізаційної задачі:
(1)
Функціонал F (x) називають цільовим функціоналом або цільовою функцією. Потрібно побудувати безліч:
=(2)
Відповідне бінарне відношення R може бути задано наступним чином: (x, x) R тоді і тільки тоді, коли F (x) gt; F (x). Якщо F (x)=F (x), то точки x, x незрівнянні за R і (x, x) R. Таке ставлення володіє антирефлексивне, асиметричністю, транзитивності і тому є відношенням строгого порядку на X.
Багатокритеріальні завдання в умовах визначеності
Покладемо, що будь-якому рішенню x? X відповідає єдиний елемент y? Y, де y=j (x), але в даному випадку якість або корисність результату y оцінюється декількома числами f (y) - за кількома критеріями, тобто fi: Y ® E, причому кожен з функціоналів потрібно максимізувати. Т.ч. будь-якому рішенню x відповідає результат y=j (x), а останньому відповідає вектор (f 1, f 2,., fm).
За допомогою суперпозиції fi (x)=fi (j (x)) i=1,., m можна безпосередньо оцінювати якість самого рішення x, використовуючи векторне відображення F: X Em, F=(f1,., fm).
Розглянемо точки x1, x2? X. Якщо fi (x2)? fi (x1) i=1,., m, причому принаймні одна з нерівностей суворе, то будемо говорити, що x1 переважніше x2. Якщо для деякого x0? X не існує більш бажаних точок, то x0 будемо називати ефективним чи Парето - оптимальним рішенням багатокритеріальної задачі:
fi (x) ®, i=1,., X (3)
Безліч, що включає в себе всі ефективні рішення позначимо PF (X) або P (X) (для відомого векторного відображення) і будемо називати безліччю Парето для векторного відображення F: X Em, F=(f1,., fm), PF (X)? X.
Безліч P (F)=F (P (X)) будем називати безліччю ефективних оцінок.
Згідно з принципом Парето оптимальне рішення необхідно шукати серед елементів множини P (X). В іншому випадку завжди знайдеться точка x? X, що виявляється більш кращою з урахуванням всіх приватних цільових функцій fi (x).
Точк...
