Нерівність Коші-Буняковського
На перший погляд, нерівність Йенсена не виробляє особливого враження: надто загально виглядає формулювання. Однак далі можна переконатися, що це враження оманливе.
Продемонструвати силу нерівності Йенсена можна на конкретному прикладі. А саме, довести знамените нерівність Коші-Буняковського, де a 1 , a 2 , ..., A n , b 1 , b 2 , ..., b n - довільні позитивні числа.
Доказ:
Як ми знаємо, функція - випукла. Напишемо для цієї функції нерівність Йенсена (2):
, (m i > 0).
Отже,. Поклавши, отримаємо необхідну нерівність.
Нерівність Коші
При вирішенні багатьох завдань часто використовується класичне нерівність Коші про середню арифметичному і середньому геометричним невід'ємних чисел.
Нехай x 1 , x 2 , ..., x n - невід'ємні числа. Середнім арифметичним цих чисел називається число -
.
Середнім геометричним чисел x 1 , x 2 , ..., x n називається число -
В
.
В
Теорема 1. Якщо x 1 , x 2 , ..., x n - невід'ємні числа, то має місце нерівність
. (1)
Причому знак рівності в ньому досягається тоді і тільки тоді, коли всі числа рівні.
Співвідношення (1) називається нерівністю Коші. При n = 2 нерівність Коші випливає з очевидної нерівності
. Дійсно,, звідки
. (2)
Зазначимо, що знак рівності в (2) має місце тоді і тільки тоді, коли x 1 = x 2 .
Нехай x 1 , x 2 , ..., x n - позитивні числа. Середнім гармонійним (середнім пропорційним) цих чисел називається число -
.
Теорема 2. Якщо x 1 , x 2 , ..., x n - позитивні числа, то мають місце нерівності
A n ≥ G n ≥ H n .
Дійсно, застосовуючи до чисел нерівність Коші, отримуємо
, (3)
звідки G n ≥ H n .
Нехай x 1 , x 2 , ..., x n - довільні числа. Середнім квадратичним цих чисел називається число -
.
Теорема 3. Якщо x 1 , x 2 , ..., x n - позитивні числа, то мають місце нерівності
K n ≥ A n ≥ G n ≥ H n , або
. (4)
Причому знак рівності в (4) досягається тоді і тільки тоді, коли всі числа рівні.
Для двох чисел нерівність (4) можна записати як
,
яке дуже легко довести за допомогою простих перетворень. А саме,
В
аналогічно доводиться і для n чисел, звідки K n ≥ A n . p> Нерівність Бернуллі
Ще один спосіб вирішення деяких олімпіадних завдань - це використання нерівності Бернуллі, яке іноді може значно полегшити задачу. В«КласичнеВ» нерівність Бернуллі формується таким чином:
Теорема. Для x> -1 і довільного натурального n має місце
(1)
причому рівність в (1) досягається при x = 0, n = 0 або n = 1.
Однак крім (1) існує і більш загальне нерівність Бернуллі, яке містить у собі дві нерівності:
якщо n <0 або n> 1, то
, (2)
якщо 0
, (3)
де x> -1.
Слід зазначити, що рівності (2) і (3) мають місце лише при x = 0.
Доказ (I спосіб):
, де x i - Числа одного і того ж знака і. br/>
Застосовуємо метод математичної індукції.
Перевіряємо нерівність для n = 1:. Нерівність вірно. p> Нехай нерівність вірно для n членів, тобто вірно нерівність
. br/>
Помножимо його на невід'ємне число 1 + x n +1 (воно неотрицательно, т.к. ). Отримаємо:
.
Т.к. x i одного знака, твори в правій частині позитивні, і якщо їх відкинути, нерівність тільки посилиться. Одержуємо:
.
Як ми бачимо, нерівність вірно і для n +1 членів, а значить вірно для будь-яких n.
Доказ (II спосіб):
Також застосовуємо метод математичної індукції.
При n = 1 маємо,. Стверджуємо, що при n = k нерівність вірно:. Тоді при n = k +1 маємо
. p> Нерівність доведено.
Вагове (загальне) нерівність Коші
Раніше ми розглянули так зване класичне нерівність Коші. Однак дуже велике значення має також одне важливе узагальнення нерівності Коші - Це загальне, або вагове, нерівність Коші. p> Теорема. Для будь-яких дійсних позитивних чисел m 1 , m 2 , ..., m
