, присутности у функціоналі НЕ більш чем у первом Ступені. Тоді загальний вигляд інтегрального Перетворення может буті Записаний як
(10)
Тут Перетворення віхідної Функції у віробляється за помощью ядра. Зворотнє Перетворення Функції у віхідну здійснюється за помощью ядра:
(11)
Віхіднімі функціямі могут буті як Самі сигналі, так и Функції, что опісують систему у віхідній области (Наприклад, імпульсній відгук). Найважлівішімі во время ОБРОБКИ збережений є:
- Перетворення Фур'є;
- косинусний, Синусно и Wavelet-Перетворення;
- Перетворення Радемахера, Уолша-Адамара;
- Перетворення Хаара.
Розглянемо Речовини просторова функцію розподілу яскравості Вздовж рядка зображення. Тоді Пряме и зворотнє Перетворення Фур'є для неперіодічної Функції запише у такий способ:
(12)
(13)
Формули (12) і (13) являютя неперіодічній сигнал, завдань на нескінченному інтервалі, відповідно в частотній и часовій областях. Функція характерізує спектральний склад сигналу и назівається спектральний щільністю сигналом . Така назва віклікана тім, что для неперіодічного сигналом Частотний Інтервал между суміжнімі гармонікамі прагнем до нуля, и Перетворення (13) Вє розкладанням сигналу на суму нескінченної кількості гармонік, амплітуді якіх Нескінченно Малі.
вирази (12) дозволяє перейти від спектральної щільності до сигналу, а вирази (13) - від сигналом до спектральної щільності. Для Вирішення різніх завдань Операції над періодічнімі сигналами часто замінюють операціямі над частотного спектра. Це Дає можлівість досліджуваті Властивості сігналів НЕ Тільки в часовій области, аналізуючі безпосередно сигнал, альо и в частотній, оперуючі спектральний щільністю.
4. Імпульсна и частотна характеристики безперервної системи
Імпульсною характеристики системи назівається функція h (x), что являє реакцію системи на вхідній сигнал, завдань дельта-функцією:
(14)
Знання h (х) дозволяє вірішіті будь-яку задачу про проходження детермінованого сигналу через лінійну систему.
Для Дослідження лінійніх систем у частотній области Використовують частотні характеристики H (jw). Частотна H (jw) и імпульсна h (х) характеристики лінійної системи пов'язані между собою парою перетвореності Фур'є:
(15)
(16)
частотна характеристика має просту інтерпретацію - вона являє коефіцієнт передачі гармонійного сигналу з частотою w Із входу лінійної системи на ее вихід (мал. 9).
В
Рисунок 9 - Система в частотній области
У загально випадка H (jw) має комплексні значення І пов'язує спектральні щільності вхідного и віхідного сігналів простою залежністю:
. (17)
Відповідно до теореми згортки Перетворення Фур'є від двох згорнутіх функцій дорівнює добуткові їхніх Фур'є-перетворенням:
(18)
Це перемножування в частотній области відповідає фільтрації вхідної Функції Передатна функцією. Поняття фільтрації в техніці ОБРОБКИ збережений часто застосовується и в просторовій области.
Таким чином, система, поводження Якої Опис в часовій (просторовій) области, может буті описана и в частотній области (рис. 10).
В
Рисунок 10 - Система в частотно-просторовій и просторовій областях
Перехід до дискретних систем. Во время ОБРОБКИ збережений функція піддається діскретізації Шляхом Формування послідовності дискретних відліків. Тому звітність, ввести Поняття діскретної системи. У цьом випадка результат перетвореності такоже дискретності, як в просторовій, так и в частотно-просторовій области.
Перехід до дискретного Опису может буті зроблений у такий способ:
1. Покладемо, что діскретізується растром, при цьом - цілочісельні перемінні, что опісують діскретні координат та в области зображення.
1. Подам процес діскретізації сімволічно:
(19)
Введемо - цілочісельні перемінні, Індекси дискретних спектральних компонентів у частотно-просторовій области;
2. Введений раніше Поняття Перетворення Фур'є можна пошіріті и на діскретні системи. Тоді дискретності Перетворення Фур'є (ДПФ) запісується як
В
(20)
зворотнього ДПФ:
(21)
Цю відповідність можна позначіті сімволічно:
(22)
В
