івняння системи (5), з урахуванням другого отримуємо
або . br/>
Це рівняння незгасаючих коливань, рішення якого з урахуванням початкових умов можна записати у вигляді
.
Повне рішення системи (5) буде мати вигляд
,
, (6)
.
При обліку в рівнянні Блоха членів, що містять Т 1 і Т 2 перше і друге рівняння системи (6) варто помножити на exp (-t/T 2 ), а третє рівняння прийме вигляд
.
З цієї формули видно, що поздовжня намагніченість є апериодической неосціллірующей функцією.
Поперечну намагніченість можна представити в компактній комплексній формі
або , (7)
де,.
Щоб зрозуміти, як здійснюється управління прецессией, коротко розглянемо пристрій і дію магнітної системи МР-томографа (більш докладно мова про неї піде попереду). Вона являє собою складну конструкцію і складається з головного магніту, градієнтних, коригувальних та радіочастотних котушок. Головний магніт служить для створення сильного і однорідного магнітного поля. Він може бути виконаний у вигляді соленоїда зі струмом (резистивний магніт). При великих індукції (понад 0,5 Тл) втрати в такому магніті стають надмірно великими. У цьому випадку застосовують надпровідні (криогенні) магніти, охолоджувані рідким гелієм. Їх вартість дуже велика, але зате діагностичні можливості МР-томографів з такими магнітами набагато вище. Застосовують також постійні магніти зі слабким полем (0,1 - 0,15 Тл). p> Коригувальні котушки створюють слабкі постійні магнітні поля, призначені для компенсації неоднорідностей поля головного магніту, яка повинна бути не більше 10 -6 . p> Градієнтні котушки здійснюють управління процесом вибору і сканування перерізу. При зміні струму в цих котушках дуже незначно змінюється основне поле і відповідно змінюється ларморовой частота в окремих точках простору. Градієнтних котушок три: відповідно для створення градієнтних полів по осях x, y і z. Особливістю градієнтних полів є те, що вектори їх напруженостей в будь-якій точці спрямовані паралельно осі z, тобто уздовж осі головного магніту, а їх абсолютні значення лінійно залежать від відповідної координати (рис. 4).
В
Малюнок 4. Поля градієнтів.
При дії градієнтних полів результуюче поле буде дорівнює
або , br/>
де r-узагальнена координата точки. Градієнту G (r) відповідає ларморовой частота
w (r) = g (H 0 + Gr), а величина M (t, r) визначатиметься виразом, аналогічним (7):
. (8)
Якщо формувати статичний градієнт G під час спостереження сигналу, частота коливань намагніченості починає залежати від r. Ця просторова залежність позначається на характері вихідного сигналу. Якщо сформувати градієнтний імпульс малої тривалості t (t < 1 , T 2 ), то у виразі (8) можна знехтувати величиною t/T 2 (r):
. (9)
Величину в (9) можна розглядати як зміна фази коливання з частотою w 0 . Розглянемо тепер дію ВЧ магнітного поля H 1 (t) за наявності поля головного магніту. Як було сказано раніше, це поле збуджується РЧ котушками в поперечному напрямку. Будемо вважати, що воно спрямоване вздовж осі х і запишемо його у вигляді . Таке поле називають лінійно поляризованим. Його можна записати в тотожною формі
+.
Це вираз являє собою суму полів з круговою поляризацією з різним напрямком обертання. Причому, при виборі g зі знаком "мінус" в рівнянні Лармора (w =-g Н), друга складова практично не впливає на прецессию ядер і нею можна знехтувати. Таким чином,
.
Це поле називається ефективним.
Нехай час дії РЧ імпульсу набагато менше самої малої постійної релаксації (мінімальний час Т 2 тканин становить 40 мс). Тоді рівняння Блоха буде мати вигляд
,
де +, H = H 0 + h, h = Gr - внесок градієнтної системи. З урахуванням правила перемноження векторів знайдемо
- , p>, (10)
.
Для спрощення рішення цієї системи введемо обертову систему координат i Вў, j Вў і k Вў = k, яка обертається з частотою прецесії, тобто синхронно з вектором намагніченості. При цьому одна з проекцій може бути рівною нулю або виявитися постійною величиною. Перетворення проекцій пояснюється за допомогою рис.5.
В
Малюнок 5. Перетворення координат
За допомогою залежностей (11), використовуючи рівняння системи (10), можна отримати рівняння для обертається системи координат
В
, (12)
.
Покладемо в системі (12) w = w 0 . Враховуючи w 0 = - G Н 0 , маємо g Н + w 0 = g (Н 0 + h) - gH 0 = gh. Тут проявляється необхідність введення знаку "мінус" в рівнянні...
