ослаблення експоненціальне перетворення Радону в декартових координатах має вигляд
, (2.14)
а в полярних координатах
. (2.15)
Вираз (2.15) можна переписати в іншому вигляді
. (2.16)
2.3 Вирази (2.3), (2.6) дозволяє по функції знайти її радоновскій образ. Існує співвідношення, визначальне аналогічну зв'язок між перетворенням Фур'є цих функцій. Нехай - одномірне перетворення Фур'є функції по змінній, а - двовимірне перетворення Фур'є функції з перемінним. Згідно визначенню
, (2.17)
. (2.18)
У тривимірному просторі введемо прямокутну систему координат, у якої по одній осі відкладені значення, а по двох інших - значення та.
В
br/>
Малюнок 9. Центральне перетин двовимірного перетворення Фур'є
Проведемо площину, перпендикулярну площині і проходить через початок координат, таку, що лінія її перетину з площиною становить з віссю кут, рівний (центральне перетин двовимірного перетворення Фур'є). У перетині цій площині зі значеннями функції виходить деяка одномірна функція, залежить від положення точки на цій прямій, наприклад від її відстані до початку координат. Якщо це відстань дорівнює, координати точки цієї прямої у площині рівні і. Отже, підстановкою, перетворюється на. p> Теорема.
Нехай функція і її радоновскій образ такі, що існують їх перетворення Фур'є. Тоді одномірне перетворення Фур'є радоновского образу по змінній одно функції, що описує центральне перетин двовимірного перетворення Фур'є, відповідне тому значенням, при якому обчислюється перетворення Фур'є функції
. (2.19)
Для докази (2.19) підставимо в (2.17) замість вираз (2.6) і зробимо заміну змінних, аналогічну (2.4), вважаючи в (2.4). Тоді отримуємо
=
. (2.20)
Порівнюючи останній інтеграл в (2.20) з (2.18), бачимо, що вони рівні, якщо в (2.20) під і розуміти відповідно і. Отже, останній інтеграл у (2.20) дорівнює, що й доводить сформульовану теорему. Легко переконатися, що теорема про центральний перерізі справедлива і для випадку, коли вірно рівність (2.7).
2.4 Розглянемо тепер формули обігу та алгоритми реконструкції, засновані на теоремі про центральному перерізі. Відомо, що за двовимірному перетворенню Фур'є можна знайти:
. (2.21)
Зробимо в (2.21) заміну змінних, перейшовши в площині до полярних координатам, так що,. Тоді (2.21) приймає вигляд:
. (2.22)
Тепер скористаємося рівністю (2.19) і замість підставимо в (2.22) функцію, після чого отримаємо
(2.23)
Рівність (2.23) і є шуканої формулою звернення, що дозволяє з урахуванням (2.17) по знайти функцію. Однак залучення цієї рівності для обробки даних томографічних експериментів виявляється не дуже зручним через використовуваної в ньому області інтегрування. Беручи до уваги рівність
, (2.24)
отримаємо остаточне вираження для звернення перетворення Радону (див. Додаток Б)
. (2.25)
Для виявлення детальної структури алгоритму відновлення перепишемо
(2.25) в дещо іншому вигляді. Позначимо
(2.26)
і введемо функцію від і рівну
. (2.27)
Тоді (2.25) приймає вигляд
, (2.28)
де при обчисленні інтеграла по величина повинна бути замінена відповідно до (2.26) на. У цілому, алгоритм звернення перетворення Радону можна інтерпретувати як послідовність операцій:
1) для даного радоновского образу визначається його перетворення Фур'є;
2) функція множиться на;
3) обчислюється зворотне перетворення Фур'є твори і тим самим визначається функція;
4) аргументу функції присвоюється значення (2.26);
5) проводиться інтегрування функції з куті.
Розглянемо тепер інший вид формули звернення в порівнянні з (2.25). Позначимо через імпульсну реакцію фільтра з частотної характеристикою. Зв'язок між цими функціями встановлюється прямим і зворотним перетворенням Фур'є
(2.29)
(2.30)
Зауважимо, що функція має властивість. p> Підставами в (2.25) замість праву частину (2.30), а замість - (2.17). Тоді отримаємо
(2.31)
Інтегрування по дає, а подальше інтегрування по призводить до вираження
(2.32)
Вираз (2.32) відрізняється від (2.25) тим, що в останньому бере участі перетворення Фур'є радоновского образу, а в (2.32) сам радоновскій образ. Алгоритм (2.32) можна представити як сукупність трьох послідовних операцій:
1) обчислюється згортка даного радоновского образу з функцією;
2) аргументу функції, описує отримувану згортку, присвоюється значення (2.26);
3) проводиться інтегрува...
