ння функції з куті.
2.5 Звернення експоненціального перетворення Радону (2.14) - (2.16) являє істотно більш складну задачу. Обмежимося тут розглядом тільки випадку радіально-симетричної функції. Тоді експоненціальне перетворення Радону перетворюється на експоненціальне перетворення Абеля [2]
==.
У [2] показано, що зворотне експоненціальне перетворення Абеля має вигляд
=
. (2.33)
3. МЕТОД РОЗКЛАДАННЯ У РЯД ФУР'Е (МЕТОД А. Кормак)
У цьому розділі розглянемо відновлення функції зображення по її проекціями, отриманими за допомогою зовнішнього джерела випромінювання. Запишемо шукану функцію у полярній системі координат. Тоді по змінній,, довільна двовимірна функція буде періодичної і її можна розкласти в ряд Фур'є
,. (3.1)
Аналогічно розкладемо в ряд Фур'є по змінній проекцію
,. (3.2)
У полярній системі координат (2.3) має вигляд
, (3.3)
Далі знайдемо гармоніку
=
=, (3.4)
де . Перетворимо функцію, використовуючи властивість - функції від складного аргументу
,
де - Функція Хевісайда,,. Отже,
, =
= (3.5)
де - Многочлен Чебишева 1-го роду порядку. Вираз (3.5) являє собою інтегральне рівняння щодо невідомої функції. В [3] показано, що рішення (3.5) має вигляд:
. (3.6)
Отже, знаючи проекції, можна за формулою (3.2) знайти гармоніки, а потім обчислити гармоніки за формулою (3.6) і, підставляючи їх у (3.1), знайти шукану функцію.
Для радіально-симетричної функції в полярній системі координат перетворення Радону перетворюється на приватний випадок перетворення Абеля
==
=. (3.7)
У [3] показано, що рішення інтегрального рівняння (3.7) має вигляд
. (3.8)
4. РЕКОНСТРУКЦІЯ ТОМОГРАФІЧНИХ ЗОБРАЖЕНЬ ПРИ АПРОКСИМАЦІЇ проекція Ортогональні поліноми
4.1. Розглянемо алгоритм реконструкції зображення, заснований на наближеному представленні проекційних даних у вигляді кінцевого ряду ортогональних поліномів. Нехай є повна ортонормированного послідовність функцій. Тоді, якщо шукана функція квадратично интегрируема, то вона може бути представлена ​​у вигляді
, (4.1)
де
, (4.2)
а - дійсна неотрицательная вагова функція, щодо якої функції в області завдання взаємно ортогональні.
Враховуючи рівність (5.1), завдання реконструкції функції з її радоновскому образу можна сформулювати як задачу знаходження коефіцієнтів по одержуваних проекційним даними. Формально це означає, що потрібно знайти співвідношення, наприклад, типу (4.2), але яке визначалося б не функцією, а. Вид шуканого співвідношення залежить від конкретної ортогональної послідовності і визначити його в загальному випадку не вдається. В [5] наводиться рішення даної задачі для ортогонального базису, складеного з функцій
, (4.3)
де - поліноми Церніке, для яких виконуються співвідношення
,
. (4.4)
Опускаючи громіздкі проміжні викладки, наведемо остаточні вирази і супроводимо їх необхідними поясненнями, розкривають їх фізичну сутність. Попередньо зауважимо, що якщо досліджувана функція задана в деякої обмеженої області, то завжди цю область можна охопити окружністю з деяким мінімальним радіусом а , і, поклавши в тих точках,, де відповідний коло не кореспондується з, розглядати завдання про відновлення функції в межах даної окружності. Далі, зробивши нормировку координат, на величину , можна перейти до випадку відновлення функції в межах окружності одиничного радіуса. Лише при виконанні даної умови можливо використовувати послідовність функцій (4.3).
Для реконструкції функції заданої в колі одиничного радіуса, потрібно за отриманими проекційним даними розрахувати величини
, (4.5)
де - поліноми Чебишева другого роду.
Потім у рівність (4.1) замість підставити знайдені значення, а в якості використовувати (4.3). За таких умов подальше підсумовування всіх членів получившегося ряду дозволяє реконструювати шукану функцію, так що
, (4.6)
де і - полярні координати в площині,.
Щоб розібратися, чому підсумовування в (4.6) за індексом проводиться від до, досить згадати, що всі коефіцієнти при рівні нулю. Вибір полінома Чебишева призводить до того, що коефіцієнти мають ще однією властивістю: вони також рівні нулю, коли сума їх індексів є непарній. Це випливає безпосередньо з формули (4.5), якщо врахувати два обставини:
1) згідно (2.8);
2) поліном Чебишева парного (непарного) порядку є відповідно парною (непарною) функцією свого аргументу.
Об'єднуючи оби...
