овимірну функцію, звану проекцією. Потім система В«Джерело-детекторВ» повертається щодо об'єкта на деякий кут, і знімає новий набір відліків, що визначає наступну проекцію. За отриманого набору одновимірних проекцій необхідно відновити двовимірне розподіл. Таку схему вимірів називають круговий геометрією вимірювань, а проекції називають паралельними проекціями.
В
p> Малюнок 3. Схема кругового сканування з паралельними проекціями. br/>
Нехай на площині, де введена прямокутна система координат задана функція. Проинтегрируем цю функцію за деякою прямий, що у даній площині. Очевидно, що результат інтегрування, який позначимо, залежить від того, за якою саме прямий проводиться інтегрування.
В
p> Малюнок 4. До висновку формул перетворення Радону. br/>
Відомо, що всяка пряма може бути описана рівнянням
, (2.1)
де - Відстань від початку координат до цієї прямій; - кут, утворений з віссю перпендикуляром, опущеним з початку координат на цю пряму. p> Довільна пряма однозначно задається двома параметрами і. Тому й результат інтегрування функції з деякої прямої буде залежати від цих же параметрів, тобто . Припустимо, що функція інтегрується по всіляких прямим. Подібне інтегрування можна також розглядати як деякий перетворення, яке даної функції на площині ставить у відповідність функцію на множині всіх прямих, що задається інтегралами від вздовж прямих. Це перетворення називають перетворенням Радону [4,5], а функцію часто називають чином функції в просторі Радону або проекцією, яка в позначеннях (1.2) має вигляд
. (2.2)
Задача ставиться таким чином: функція невідома, але відома функція, що є чином у просторі Радону; потрібно по функції визначити . Іншими словами рішення поставленої задачі зводиться до відшукання явною формули звернення або до пошуку перетворення, зворотного перетворенню Радону. Вперше формула звернення була отримана в статті Йоганна Радону, опублікованій в 1917 році в Працях Саксонської академії наук. Однак ця робота була незаслужено забута і формула обігу була відкрита заново в 1961 році.
Згідно визначенню радоновского образу і з урахуванням того, що інтеграл від заданої функції вздовж прямої дорівнює інтегралу по всій площині твори цієї функції на - функцію, аргументом якої є ліва частина рівняння (2.3), маємо [6,7]
. (2.3)
Інтегрування, здійснюване за двома змінним, можна звести до інтегрування по одній змінної. Для цього введемо ще одну прямокутну систему координат, повернену щодо на кут. Згадаймо, що при переході від однієї з цих систем координат до іншої координати міняються наступним чином:
(2.4)
(2.5)
Зробимо в (2.3) заміну змінних (2.4)
=
= (2.6)
Для функції, відмінної від нуля в межах деякої обмеженої області, її радоновскій образ також визначається виразом (2.3), тільки інтегрування проводиться не по всій площині, а задається кордонами даній області. Так, якщо відмінна від нуля всередині кола радіуса, то замість (2.6) маємо
. (2.7)
У загальному випадку функція, що описує радоновскій образ, володіє однією важливою властивістю
. (2.8)
Фізичний сенс цієї властивості полягає в тому, що будь-які пари і згідно (2.1) задають одну і ту ж пряму.
Наведемо приклади, які ілюструють обчислення радоновскіх образів.
Приклад 1.
Нехай . Підставимо це вираження в (2.6) і отримаємо (див. Додаток А)
=
=. (2.9)
З (2.9) випливає, що якщо функція відмінна від нуля в точці, то функція, що описує її образ в просторі Радону, відмінна від нуля на лінії
, (2.10)
В
де . p>В
p> Малюнок 5. - Функція (а) і її радоновскій образ (б)
В
Приклад 2 . p> Нехай . Підставляючи цей вираз в (2.6), отримаємо
. (2.11)
В
p> Малюнок 6. Функція (а) і її радоновскій образ (б)
Область, де бере максимальні значення, являє собою лінію, яка визначається виразом (2.10).
Приклад 3.
При (2.12)
отримуємо
(2.13)
В
Малюнок 7. Функція (а) і її радоновскій образ (б)
2.2 У разі самоізлучающего об'єкта основним завданням ЕОТ є завдання відновлення двовимірного розподілу джерел випромінювання. Для простоти будемо вважати, що область, в якій розподілені джерела випромінювання, цілком розташована в області поглинання випромінювання, що характеризується функцією розподілу коефіцієнта ослаблення. Зазвичай при вимірах за допомогою ЕОТ, також як і при ТВТ, використовують кругову схему з паралельними проекціями. p>В
br/>
Малюнок 8. Кругова геометрія вимірів у ЕОТ. br/>
У [3] показано, що для ЕОТ з постійним коефіцієнтом...
