пису вказує номер стовпця, в якому сталася помилка. Співвідношення (1) задає витончений і дуже простий спосіб декодування. З властивостей коду виправляти одну помилку випливає, що кодова відстань d 3. Зауважимо, що вектор (1110,., 0) належить НR, що перевіряється множенням на перевірочну матрицю. p> Отже, d = 3.
Код Хеммінга використовується в деяких прикладних програмах у сфері зберігання даних; крім того, метод Хеммінга дозволяє "на льоту" виправляти одноразові і виявляти двократні помилки.
При використанні досконалих кодів завжди можлива корекція помилок (не обов'язково правильна). Крім кодів Хеммінга, в даний час відомо мало досконалих кодів. p align="justify"> Теорема 2. (Верхня межа Плоткина)
Якщо існує q -ічний блоковий код з числом слів М і кодовим відстанню d , то справедливо:
В
Визначення. Коли це нерівність перетворюється в рівність, то код називається еквідистантним . Це можливо, коли відстань між кодовими словами однаково одно d . p> Приклад:, а також код кратних повторень.
еквідистантним коди
Теорема. Кожне ненульове кодове слово циклічного реєстрового коду максимальної довжини є циклічним зрушенням будь-якого іншого ненульового кодового слова. Таким чином, в метриці Хеммінга всі реєстрові коди максимальної довжини, є еквідистантними.
Блокові еквідистантно коди з довільним підставою q, в яких відстань (Хеммінга) d суворо досягає верхньої межі, можливою при заданих q, числі кодових слів M і довжині кодового слова n. Такі коди іменуються скорочено EDm - кодами (q, M, n, d). p align="justify"> EDm - Коди цікаві, зокрема, з наступних причин. Вони складають екстремальний клас q-ічних кодів. EDm - Коди можна використовувати для побудови інших кодів з різними підставами аж до q = 2. p> Розглянемо код з параметрами q, M, n, d. EDm - коди з dm і M = qt наступним чином:
Для досягнення цілочисельності m:
так як = nM (ql)/(Ml) q = nt (q - 1)/(qt - 1) (*),
то n = c (qt - 1)/(q - 1, t - 1), де з 1 - ціле.
У EDm - кодах відстань точно досягає (*), будь
з q символів повторюється в кожному стовпці точно t раз, t 1, і параметри мають вигляд:
M = qt, n, d = nt (q - 1)/(qt - 1).
Зі співвідношень отримуємо, що параметри EDm - кодів завжди можуть бути представлені у вигляді:
M = qt, n = c (qt - 1)/(q - 1, t - 1), d = ct (q - 1)/(q - 1, t - 1).
Тривіальним випадком є ​​код з t = 1 з довільним n і d = n.
Тут кожне з q слів містить n-кратне повторення одного з q символів.
Зазначимо, що маються значення параметрів t і q, для яких EDm-...
