він будь-яку сходящуюся послідовність переводить у сходящуюся послідовність.
Приклад 1: Нехай Е - лінійне топологічний простір. Покладемо
IХ = х для всіх хе
Такий оператор I, що переводить кожен елемент простору в себе, називається одиничним оператором.
Приклад 2: Якщо Е і Е1 - довільні лінійні топологічні простори і
0х = 0 для всіх хе
(тут 0 - нульовий елемент простору Е1), то 0 називається нульовим оператором.
Безперервність оператора в перших двох прикладах очевидна.
Приклад 3: Загальний вид лінійного оператора, що перекладає конечномерное простір у конечномерное:
Нехай А - лінійний оператор, відображає n-мірний простір Rn з базисом е1, е2, ..., еn в m-мірний простір Rm c базисом f1, f2, ..., fm. Якщо х - довільний вектор на Rn, то
х =
і, в силу лінійності оператора А,
Ах =
Таким чином, оператор А заданий, якщо відомо, у що він переводить базисні вектори е1, е2, ..., еn. Розглянемо розкладання векторів Аеi по базису f1, f2, ..., fm. Маємо
Аеi =
Звідси ясно, що оператор А визначається матрицею коефіцієнтів аi j. Образ простору Rn в Rm являє собою лінійне підпростір, розмірність якого дорівнює, очевидно, рангу матриці, тобто у Принаймні не перевершує n. Ми отримали, що оператор в скінченновимірному просторі задається матрицею коефіцієнтів розкладання векторів Аеi по векторах базису fi. Образ вектора х обчислюється, як добуток стовпця координат цього вектора на матрицю коефіцієнтів. Зазначимо, що в скінченновимірному просторі всякий лінійний оператор автоматично неперервний. p> Приклад 4: Нехай А - лінійний оператор, що відображає простір квадратних матриць розмірності m на себе. Простір квадратних матриць розмірності m - конечномерное, отже, лінійний оператор задається матрицею розмірності m. Таким чином, виходить приклад, схожий на приклад 3, тільки в ролі конечномерного простору векторів тут виступає конечномерное простір квадратних матриць.
Лінійний оператор, який діє з Е в Е1, називається обмеженим, якщо він визначений на всьому Е і кожне обмежене безліч переводить знову в обмежений безліч. Між обмеженістю і безперервністю лінійного оператора існує тісний зв'язок, а саме, справедливі наступні твердження.
Всякий безперервний оператор обмежено.
Якщо А - обмежений оператор, чинний з Е в Е1, і в просторі Е виконана перша аксіома счетності (Якщо кожна точка топологічного простору має лічильну визначальну систему околиць, тобто систему околиць точки, що володіє наступними властивостями: яке б не було відкрите безліч G, що містить цю точку, знайдеться околиця з цієї системи, цілком лежить в G), то оператор А неперервний.
Тобто, в просторах з першої аксіомою счетності обмеженість лінійного оператора рівносильна його безперервності.
Якщо Е і Е1 - нормовані простору, то умова обмеженості оператора А, що діє з Е в Е1, можна сформулювати так: оператор а називає...
