ться обмеженим, якщо він переводить всякий куля в обмежений безліч. У силу лінійності оператора А це умова можна сформулювати так: А обмежений, якщо існує така постійна С, що для всякого
.
Найменше з чисел С, задовольняють цьому нерівності, називається нормою оператора А і позначається . Справедлива так само така теорема:
Теорема: Для будь-якого обмеженого оператора А, що діє з нормованого простору в нормований,
=.
Визначення: Нехай А і В - два лінійних оператора, що діють з лінійного топологічного простору Е в простір Е1. Назвемо сумою А + В оператор С, що ставить у відповідність елементу хе елемент
y = Ax + ByE1.
С = А + В - лінійний оператор, безперервний, якщо А і В безперервні. Область визначення Dc є перетин DADB областей визначення оператора А і оператора В.
Якщо Е і Е1 - нормовані простору, а оператори А і В обмежені, то С теж обмежений, причому
.
Це випливає з:
.
Визначення: Нехай А і В - лінійні оператори, причому А діє з простору Е в Е1, а В діє з Е1 в Е2. Твором ВА операторів А і В називається оператор, що ставить у відповідність елементу хе елемент
z = B (Ax)
з Е2. Область визначення DC оператора С = ВА складається з тих хDA, для яких AxDB. Ясно, що оператор З лине. Він безперервний, якщо А і В безперервні. p> Якщо А і В - обмежені оператори, діючі в нормованих просторах, то і оператор С = ВА обмежений, причому
Це випливає з:
Зворотний оператор. Оборотність p> Нехай А - оператор, який діє з Е в Е1, і DA - область визначення, а RA - область значень цього оператора.
Визначення: Оператор А називається оборотним, якщо для будь-якого рівняння
має єдине рішення. p> Якщо А звернемо, то кожному можна поставити у відповідність єдиний елемент, що є рішенням рівняння. Оператор, здійснює це відповідність, називається оператором зворотним до А і позначається.
Розглянемо оператор, що переводить конечномерное простір у конечномерное. Вище було сказано, що він задається матрицею коефіцієнтів. Таким чином, оператор звернемо, якщо оборотна матриця коефіцієнтів, якій він задається. А матриця оборотна лише в тому випадку, якщо її визначник не дорівнює нулю. Тобто матриці, які мають ненульовий визначник, задають оборотний оператор, що переводить конечномерное простір в конечномерное.
Теорема: Оператор, зворотний до лінійного оператору А, також лине.
Теорема Баноха про зворотне операторі: Нехай А - лінійний обмежений оператор, взаємно однозначно відображає Банаховий простір Е на Банаховий простір Е1. Тоді зворотний оператор теж обмежений. p> Теорема: Нехай обмежений лінійний оператор А0, що відображає Банаховий простір Е на Банаховий простір Е1, має обмеженим зворотним і нехай - такий обмежений лінійний оператор, відображає Е в Е1, що. Тоді оператор А = відображає Е на Е1 і має обмеженим зворотним.
Теорема: Нехай Е - Бана...
