цієнтів Если накласти (Яке до цього годині Було довільнім комплексні числа) Додатковий умову:
(3)
Те (4)
Підсілюючі помощью нерівностей (2) і (4) нерівність (1), маємо:
(5)
При НЕОБМЕЖЕНИЙ зростанні таборі больше за число
(6)
Для таких значень справджується нерівність
и тому (7)
Колі, задовольняючі нерівність (3), задовольняють и нерівність (6), тоб коли
(8)
то на підставі (5) і (7) можна записатися:
(9)
Покажемо тепер, что при Достатньо великих величина буде більшою від наперед заданого додатного числа. Справді, при
(10)
Справедлива нерівність
(11)
Если при цьом такоже справджується нерівність (9), то з (9) і (11) віпліває. Через ті что нерівність (9) справедлива для тихий, что задовольняють умову (8), а нерівність (11) - для тихий, что задовольняють умову (10), то потрібна нам нерівність справджуватіметься для всіх, Які задовольняють обідві ці умови, тоб для якіх, де
.
Ясно, що таке можна найти для довільного додатного Теорему доведено.
Зауваження. З нерівностей, встановленного при доведенні цієї теореми, можна безпосередно дістаті такий ВАЖЛИВО наслідок: многочлен может мати позбав Такі корені, модуль якіх менший від числа
(12)
де Найбільший з модулів Коефіцієнтів
Зауваження. При модуль старшого члена многочлена більшій за модуль суми всех других членів цього многочлена.
Теорема 2. Для довільного многочлена існує хочай б одна точка КОМПЛЕКСНОЇ площини, в якій функція набуває найменшого значення, а тоб така, что для довільного комплексного числа. p> Теорема 3. (основна теорема алгебри). Довільній многочлен ненульового степеня з комплексністю коефіцієнтамі має хочай б один комплексний корінь. p> Доведення. З теореми 2 відомо, что функція хоч при одному комплексному набуває найменшого значення. Для доведення ОСНОВНОЇ теореми алгебри й достатньо Встановити, что = 0, тоб что и є коренем многочлена. p> Припустиме супротивні, тоб что, и покажемо, что в цьом випадка НŠ​​может буті точкою, в якій набуває найменшого значення. Для цього, очевидно, слід показати, что можна найти таку точку, в якій або, что ті самє,. p> Застосуємо до многочлена формулу Тейлора:
(13)
Через ті что за припущені, очевидно, что й. Тому, щоб найти потрібне нам відношення, поділімо почленно обідві Частини рівності (13) на. Матімемо:
=
Позначімо в Цій рівності для СКОРОЧЕННЯ. І КОЕФІЦІЄНТИ при через (дістанемо Рівність
(14)
Зрозуміло, что в Цій рівності ряд дерло Коефіцієнтів может дорівнюваті нулю: проти среди усіх Коефіцієнтів винен буті хочай б один коефіцієнт Справді, коли б УСІ КОЕФІЦІЄНТИ дорівнювалі нулю, то це означ...
