ало б, что, и для будь-якого за формулою ( 13) ми малі б, тоб многочлен є числом (многочленом нульового степеня), что суперечіть умові теореми. Отже, Припустиме, что, а. (Если вже, то). Тоді Рівність (14) можна записатися в такому вігляді:
. (15)
користуючися тім, что, далі маємо:
=
Нам треба показати Існування таких значень, что, того оцінімо відношення за модулем, скоріставшісь властівостямі модуля суми и добутку:
(16)
Щоб показати, что при ПЄВНЄВ віборі права частина нерівності (16) буде Менша за одиницю, накладемо на відповідні умови. Через ті что, то ці умови можна накласти на число. Запісуючі комплексне число у трігонометрічній ФОРМІ, Бачимо, что для Вибори можна накладаті певні умови як на модуль так и на аргумент. p> самперед звернемо уваг на ті, что вирази
В
є многочленом від з вільним членом, что дорівнює нулю. Отже, маємо:. Це означає, что для довільного числа Наприклад,, можна найти таке число, что при
(17)
справджується нерівність. Отже, нехай на Накладено умову (17). Тоді,, и нерівність (16) матіме вигляд:
(18)
Нам треба вібрато так, щоб Було менше 1. Для цього Знайдемо таке, щоб Було дійснім відємнім числом з модулем, меншим за одиницю. Покажемо, что такий вибір всегда можливий. p> Розглянемо для цього число. Запішемо его у трігонометрічній ФОРМІ. Оскількі, де - відомі числа, то
(19)
тоб, а Для того щоб Було дійснім відємнім числом, его аргумент винен дорівнюваті. Тому накладемо на умову, або
(20)
Ясно, что при довільному натуральному и при всякому комплексному таке можна найти. Тепер для всякого комплексного числа з аргументом (20) дістаємо з (19):, а нерівність (18) запишеться у вігляді
. (21)
Тепер залішається вібрато так, щоб Було Легко Бачити, что для цього й достатньо взяти. Зауважімо, что на ми Вже накладалі умову (17). Щоб поєднаті Цю умову з последнего нерівністю, слід за взяті Довільне число, Яку менше
. (22)
При такому віборі справедлива нерівність (21) І, крім того, Тому
, (23)
бо.
Отже, при всякому, де - комплексне число, аргумент Якого візначається умів (20), а модуль менший за, Яку візначається умів (22), справедлива нерівність або.
цею Висновок суперечіть умові, згідно з Якою - найменша Значення Отже = 0, и теорему доведено.
1.2 Наслідки з ОСНОВНОЇ теореми алгебри. Формули Вієта
З теореми 3 зразу дістаємо ряд ВАЖЛИВО НАСЛІДКІВ.
Теорема 4. Кожний многочлен, степінь Якого вищий за одиницю, звідній у полі комплексних чисел. p> Доведення. Нехай - многочлен степеня За основною теоремою алгебри існує хочай б один корінь цього многочлена. діліться на, тоб Через ті что степінь більшій за 1, то є многочлен ненульового степеня. ЦІМ и...
