ОСНОВНОЇ теореми алгебри Видатний вчений, а самє, Ейлер, Лагранжем. p> Прийнято вважаті, что перше строге доведення ОСНОВНОЇ теореми давши Гаусс у 1799. Однак з точки современного вчення про неперервність це доведення вімагає Деяк ДОПОВНЕННЯ І, крім того, воно стосується позбав многочленів з дійснімі коефіцієнтамі. Альо Основний Хід цього доведення Цілком правильним. p> Однією з найважлівішіх тим алгебри є: Вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та Способи знаходження коренів таких рівнянь. Метою курсової роботи є Розширення уявлення про корені многочленів довільного степеня. br/>
1. Основна теорема алгебри
Розглянемо основні Поняття, что стосують даної тими.
Означення 1. Многочленом від однієї змінної над областю цілісністю назівається вирази, де - Довільне ціле невідємне число, - елєменти области цілісності, а (або), - деякі символи; назівається-м Ступінь змінної (або невідомого), а - м коефіцієнтом многочлена
або коефіцієнтом при (= 0,1, ...,).
Означення 2. Відмінний від нуля член многочлена, степінь Якого більшій за степінь усіх других відмінніх від нуля членів цього многочлена, назівається старшим членом, его КОЕФІЦІЄНТИ - старшим коефіцієнтом, а его степінь - ступінь многочлена. p> Означення 3. корінь багаточлена назівається елемент будь-якого Розширення поля такий, що. p> Означення 4. Елемент назівається коренем многочлена, ЯКЩО діліться на. p> Головня результатом Дослідження питання про Існування коренів алгебраїчніх рівнянь є так кличуть входити основна теорема алгебри.
Розглянемо питання про Існування коренів многочлена з геометричного Погляду. Нам треба показати, что для всякого многочлена ненульового степеня від комплексного змінного P (z) знайдеться на Комплексній площіні хочай б одна точка z0 така, что P (z0) = 0. Зауважімо, что зручніше досліджуваті НЕ самий многочлен P (z), а его модуль, тоб функцію w =. Безпосередно ясно, что Функції P (z) i перетворюються в нуль в одних и тихий самих точках, так Що з точки зору Існування коренів та їх размещения на Комплексній площіні байдуже, чи ми розглядаємо P (z), чі. Прото має ту Переваги, что вона набуває позбав дійсніх и притому невідємніх значень, что полегшує! Застосування до неї методів математичного аналізу. br/>
1.1 Доведення ОСНОВНОЇ теореми алгебри
Теорема 1. Если P (z) - многочлен ненульового степеня, то для довільного додатного числа M можна найти таке число N, что при
.
Саме це Твердження и означає, что необмежено зростає, коли точка z необмежено віддаляється від качану координат, бо Яким бі великим Не було число M, перевіщуватіме M, як Тільки віддаль точки z від качану координат буде більша відповідного N.
Доведення. Користуючися властівостямі модуля комплексного числа, маємо:
= (1)
Альо
(2)
де - Найбільший з модулів Коефі...
