показана на рис. 1, в). Всяка найкоротша складається з прямолінійних відрізків на багатокутниках розгортки. Причому, як неважко бачити, два відрізки найкоротшою, що підходять до ототожнюються точкам, складають з ототожнювалася сторонами рівні кути (рис. 1, б). Введене відстань задовольняє нерівності трикутника: (X, Y) + (Y, Z) (X, Z). p> перекроїти тепер цю розгортку в нову шляхом розрізання та склеювання. Точкам X і Y першої розгортки будуть відповідати точки X 'і Y' нової розгортки (рис. 1, д). Відстань між будь-якими двома точками на новій розгортці буде тим же, що і відстань між відповідними точками на попередній розгортці. Про такі розгортках говорять, що вони ізометрічни. Таким чином, якщо одна розгортка отримана з іншого за допомогою розрізання її багатокутників і склеювання вздовж ототожнюються сторін, то вони ізометрічни один одному. p> Цілком аналогічно, розгортка багатогранника ізометрічних самому багатограннику (його поверхні). Якщо X і Y - точки на розгортці, а X 'і Y' - відповідні їм точки на многограннике, то відстань р (X, Y) між X і Y на розгортці дорівнює відстані м (X ', Y') між точками X ' і Y ', виміряного по поверхні багатогранника. Усі твердження, які можна отримати, вимірюючи відстані між точками багатогранника, складають так звану внутрішню геометрію багатогранника. p> Для квадрата склеювання виконати просто. З'єднання верхньої та нижньої сторін дає циліндр, відкритий з обох торців; склеювання відкритих торців дає бублик. Після склеювання сторін В«швиВ» зникають; флатландец не може визначити, де було вироблено склеювання. Бублик і квадрат з належним чином ототожненні сторонами вважаються топологічно одним і тим же абстрактним різноманіттям, а саме двовимірним тором. p> Ідея внутрішньої геометрії поверхні, зокрема внутрішньої геометрії багатогранника, вперше з'явилася в роботах великого німецького математика Гауса (1777 - 1855). У XIX столітті математики відкрили, що будь-яке двовимірне різноманіття можна представити як багатокутник, сторони якого певним чином склеєні або, іншими словами, ототожнені один з одним. У романі В«ФлатландіяВ», опублікованому в 1884 році, Е. Еббот описує двовимірне істота, постійно живе на двовимірному різноманітті з більш екзотичної топологією - на квадраті, протилежні сторони якого ототожнені. Коли флатландец перетинає верхню сторону квадрата, він знову з'являється на нижній його стороні; якщо він йде вправо, то з'являється зліва. Тому, по суті справи, верх квадрата приклеєний до його низу, а права сторона - до лівої. Варто відзначити, що так само улаштовані багато відеоігри: коли фігура йде за верхній край екрану, вона з'являється знизу, і т.д.
Уявімо собі, що на якійсь поверхні живе якийсь геометр на прізвище Точкін. Точкін - це двовимірне істота дуже невеликих розмірів, яке може вільно переміщатися по поверхні і вимірювати відстані (X, Y) між будь-якими двома її точками X і Y.
Все, що може вивести з цієї...
