інформації наш геометр, якраз і складає предмет внутрішньої геометрії поверхні. З іншого боку, Точкін навіть не підозрює про існування простору, в якому знаходиться дана поверхня. Тим більше він нічого не знає про те, як ця поверхня розташована в просторі. br/>В
а) б)
Рис. 2
Ми, мешканці Землі, на відміну від Точкіна, живемо в тривимірному світі. Ми можемо милуватися картиною зоряного неба. Стоячи на березі моря і спостерігаючи, як ховається за горизонтом корабель, ми можемо здогадатися про те, що поверхня Землі - це не площина. У Точкіна ж, повторюємо, жодної інформації про навколишній просторі немає. Залишаючи за рамками розмови особливості сприйняття Точкіним двовимірного світу, спробуємо уявити, що можна було б зробити на його місці. Наприклад, можна було б визначити коло радіуса R з центром O як безліч точок на поверхні, віддалених від O на відстань R. Будь це поверхня багатогранника, наприклад куба, Точкін помітив би, що формула довжини кола або площі кола залежить не тільки від радіуса, а й від вибору центру. Він виявив би, що довжина l (R) кола з центром у вершині куба виражається як l (R) = 3/2R, якщо R не перевершує довжини ребра куба, в той час як коло з центром не в вершині куба при досить маленькому радіусі (меншому відстані від центру до найближчої вершини) має довжину 2R (рис. 14, а). При великих значеннях радіуса залежність довжини кола від радіуса перестає бути лінійною. Давайте, виходячи з куба, побудуємо інший багатогранник. Для цього В«протиснутиВ» частина багатогранного кута в багатогранний кут, симетричний вихідного відносно площини ABC (рис. 14, б). Неважко бачити, що між точками куба і продавленого куба існує взаємно однозначна відповідність, при якому відстані між відповідними точками рівні. Хоча ці багатогранники неконгруентні один одному, їх внутрішня геометрія однакова. Так що якби наш знайомий геометр заснув на поверхні куба і в сплячому стані був перенесений на поверхню куба з продавлені кутом, то, прокинувшись, він би не помітив ніякої різниці. p> Отже, ми підійшли до основної теоремі Александрова про розгортках опуклих багатогранників. Нам знадобиться ейлерова характеристика розгортки, яка визначається аналогічно ейлеровой характеристиці багатогранника
= В-Р + Г
де Г - число багатокутників, що входять до розгортку, Р - число сторін багатокутників, при цьому кожні дві ототожнюються між собою сторони вважаються за одну, В - число вершин, причому ототожнюються між собою вершини також вважаються за одну.
Підрахуємо ейлерову характеристику для декількох розгорток. Для хрестоподібної розгортки куба (рис. 1, б) маємо: В = 8, Р = 7, Г = 1 і, відповідно, = 2. Для розгорнення куба, зображеної на рис. 13, д маємо: В = 11, Р = 10, Г = 1, звідки знову = 2. p> Для спеціальної розгортки, у якої кожен багатокутник - це грань багатогранника, кожне ребро - це ребро багатогранника, а вершина - вершина багатогранника, легко бачити, що ейлерова ха...
