-а: Лист Мебіуса
Глава II. Внутрішня геометрія поверхні. Теорема Александрова
Розглянемо розгортку багатогранника.
В
В В
). б). p> в). г).
Рис. 1
Зробимо це на прикладі розгорток куба. Разрежем поверхню куба вздовж усіх його ребер. Отримаємо шість квадратів, у яких склеюються сторони і вершини відзначені однаковими буквами (рис. 1, а). Ця сукупність квадратів є розгорткою куба. Але це - особлива розгортка. Кожен її багатокутник - це грань багатогранника. А кожна сторона багатокутника (разом із ще однією стороною іншого багатокутника) - це ребро багатогранника. Вершини розгортки, відмічені однією буквою, склеюються в одну вершину багатогранника. p align="justify"> Склеївши між собою деякі багатокутники по однойменних сторонам, отримуємо іншу, добре відому, хрестоподібну розгортку куба (рис. 1, б). Вона складається лише з одного багатокутника з 14 вершинами і такою ж кількістю сторін. Відмічені однаковими буквами вершини і сторони склеюються між собою. На цій розгортці грані куба вже не представлені у вигляді окремих багатокутників. Не представлені на ній також і деякі ребра, але представлені всі вершини. p align="justify"> Тепер, замість того щоб склеювати квадратні грані між собою, розріжемо кожну з них на чотири трикутника. Отримаємо нову розгортку куба, що складається з 24 трикутників (рис. 1, г). Кожен трикутник - це лише частина грані куба. У цій розгортці ми стикаємося з новим для нас обставиною: не всі сторони розгортки є ребрами багатогранника і не всі вершини розгортки є вершинами багатогранника. p align="justify"> Ці 24 трикутника можна склеїти вздовж ототожнюються сторін і по-іншому (рис. 1, д). У цій розгортці, що складається з єдиного багатокутника, жодна із сторін не є істинним ребром куба, який виходить з цієї розгортки. p align="justify"> Тепер дамо визначення розгортки. Нехай є кілька багатокутників, у яких кожна сторона ототожнена з однією і тільки однією стороною того ж або іншого багатокутника цієї сукупності. Це ототожнення (або склеювання) сторін має задовольняти ще двом умовам:
). ототожнюються сторони мають однакову довжину;
). від кожного багатокутника до будь-якого іншого можна перейти, проходячи по багатокутників, які мають ототожнені сторони.
Сукупність багатокутників, яка задовольняє умовам 1) і 2), називається розгорткою.
Візьмемо на розгортці точки X і Y. У силу умови 2) їх можна з'єднати ламаними, перехідними з одного багатокутника розгортки на іншій через ототожнюються точки меж цих багатокутників. Виберемо серед усіх ламаних, що з'єднують дані точки, найкоротшу. Довжина найкоротшою ламаної, що з'єднує дві точки, називається відстанню між ними на розгортці. Найкоротшою ламаної, що сполучає точки X і Y на розгортці, що на рис. 13, б є ламана XFY (відповідна ламана на поверхні куба ...
