авець не є риба. p> 2-я посилка: Всі риби дихають зябрами. p> Висновок: Деякі з тих, хто дихає зябрами, не є ссавцями. p> З біології нам відомо, що всі дихаючі зябрами не належать до класу ссавців. У укладанні ж йдеться тільки про деякі з них. Але в даному випадку ми не маємо права говорити про всіх дихаючих зябрами, тому що при логічному виведенні ми повинні виходити не з наших знань або помилок, а тільки з того, що нам дано в посилках. А з наших посилок за правилами Аристотелівською силлогистики можна вивести тільки приватне судження. Подивимося, що вийде, якщо скористатися E-структурами.
Позначимо М - ссавці, Р - риби, Ж - дихаючі зябрами. Тоді посилки можна представити у вигляді таких формул:
М В®; Р В® Ж.
Тут потрібно зробити одне пояснення. Судження типу В«Жодне A не їсти BВ» в традиційній логіці означає те ж саме, що і судження типу В«Кожне A не їсти BВ» і у алгебрі множин відповідає включенню відповідного безлічі A в доповнення безлічі B. Наявність двох заперечень в одному судженні в даному випадку обумовлено не двома фактичними запереченнями, а деякими нелогічними особливостями синтаксису російської мови. Наприклад, в англійській мові судження В«Жодне A не їсти BВ» формулюється як В«No A is BВ», тобто в цій мові в відміну від російської використовується тільки одне заперечення. На діаграмах Ейлера співвідношення, виражені цими судженнями, зображуються у вигляді пари непересічних множин A і B, з чого випливає справедливість включення AГЌ.
Розглянемо простий метод побудови екзистенціальних суджень для довільної E-структури. Тут потрібно врахувати, що граф E-структури - це граф частково упорядкованого множини, в якому визначальним ставленням є ставлення включення множин. У кожній E-структурі можна виділити найбільший і найменший елементи - це порожній безліч (Г†) і універсум (U), на схемах ми їх не показуємо - вони просто маються на увазі. Крім припущених найбільшого та найменшого елементів в E-структурах маються так само мінімальні та максимальні елементи - на схемах їх присутність обов'язково. Якщо керуватися схемним поданням, то їх визначення дуже просто.
Мінімальні елементи E-структури - це елементи, в які не входить жодна дуга. На малюнку 31 ми можемо розпізнати таким чином 3 мінімальних елемента (М, Р і).
Максимальні елементи E-структури - це елементи, з яких не виходить жодна дуга. На малюнку 31 ми можемо розпізнати таким чином 3 максимальних елемента (, і Ж).
Щоб побудувати в E-структурі безліч можливих екзистенціальних (приватних) суджень, досить обчислити верхні конуси всіх мінімальних елементів.
Використовуючи для цього граф на малюнку 31, отримаємо
МD = {М,}; РD = {Р, Ж,}; D = {, }. br/>
Тоді екзистенційні судження даної структури формуються в такій послідовності:
вибирається будь верхній конус (приміром, {Р, Ж,});
з обраного на кроці 1 безлічі літералів формується деяке його підмножина (наприклад, {Ж,});
формується екзистенціальне судження, в правій частині якого міститься вбрання на попередньому кроці підмножина літералів.
У нашому прикладі таким екзистенційним судженням буде, зокрема,
W В® (Ж,),
яке при перекладі на природну мову ("Деякі, дихаючі зябрами, не є ссавцями ") збігається з висновком, отриманим за правилами Арістотелевой силлогистики. p> Верхні конуси мінімальних елементів називаються максимальними верхніми конусами даної E структури. Максимальними вони є тому, що верхній конус будь-якого елемента, який не є мінімальним, обов'язково є підмножиною -якого максимального верхнього конуса.
Розглянутий метод побудови екзистенціальних суджень за допомогою максимальних верхніх конусів, дозволяє вивести всі правильні силогізми, що містять як висновків приватні судження, а також побудувати такі приватні ув'язнення, які не передбачені в силогістиці Аристотеля. Ці приватні судження володіють тим властивістю, що вони при додаванні в структуру не викликають колізій не тільки у вихідній структурі, а й у структурі, яка виходить з вихідної за рахунок додавання в неї нових суджень або термінів. При цьому, розуміється, повинна виконуватися умова: при розширенні структура повинна залишатися коректною. Тому приватні судження, отримані цим методом (з допомогою максимальних верхніх конусів), ми будемо називати безумовними екзистенційними судженнями (у колишніх роботах на цю тему такі судження називалися арістотелева приватними судженнями). p> Властивість безумовних екзистенціальних суджень зберігати свою коректність при будь-якому коректному розширенні структури обумовлено наступної закономірністю: при будь-якому коректному розширенні вихідної структури верхні конуси всіх елементів вихідної структури є підмножинами верхніх конусів тих же елементів у розширеної структурі. p> Ця закономірність може бути строго доведена, але тут ми такі докази не розглядатимемо. p> Але, виявляється, є інший метод по...
