ора кулька може бути у в'язкому середовищі, відчувати періодичні або випадкові впливу, наприклад, підкачування енергії, і проч. Після того, як досконально математично вивчена суть процесів на такий базової моделі, за аналогією стає зрозумілими явища, що відбуваються в набагато складніших реальних системах. Наприклад, релаксація конфірмаціонних станів біомакромолекул розглядається аналогічно осцилятора у в'язкому середовищі. Таким чином, завдяки простоті і наочності, базові моделі стають надзвичайно корисними при вивченні самих різних систем.
Всі біологічні системи різного рівня організації, починаючи від біомакромолекул аж до популяцій, є термодинамічний нерівноважними, відкритими для потоків речовини і енергії. Тому нелінійність - невід'ємна властивість базових систем математичної біології. Незважаючи на величезну різноманітність живих систем, можна виділити деякі найважливіші властиві їм якісні властивості: зростання, самообмеження зростання, здатність до перемикань - існування у двох або декількох стаціонарних режимів, автоколивальні режими (біоритми), просторова неоднорідність, квазістохастічность. Всі ці властивості можна продемонструвати на порівняно простих нелінійних динамічних моделях, які й виступають у ролі базових моделей математичної біології.
Необмежений зростання. Експоненціальне зростання. Автокаталіз
В основі будь-яких моделей лежать деякі припущення. Модель, побудована на основі цих припущень, стає самостійним математичним об'єктом, який можна вивчати за допомогою арсеналу математичних методів. Цінність моделі визначається тим, наскільки характеристики моделі відповідають властивостям модельованого об'єкта. Одне з фундаментальних припущень, що лежать в основі всіх моделей зростання - пропорційність швидкості росту чисельності популяції, будь то популяція зайців або популяція клітин. В основі цього припущення лежить той загальновідомий факт, що найважливішою характеристикою живих систем є їх здатність до розмноження. Для багатьох одноклітинних організмів або клітин, що входять до складу клітинних тканин - це просто поділ, тобто подвоєння числа клітин через певний інтервал часу, званий характерним часом поділу. Для складно організованих рослин і тварин розмноження відбувається за більш складного закону, але в найпростішої моделі можна припустити, що швидкість розмноження виду пропорційна чисельності цього виду.
Математично це записується за допомогою диференціального рівняння, лінійного відносно змінної x, характеризує чисельність (концентрацію) особин в популяції:
(1)
Тут R в загальному випадку може бути функцією як самої чисельності, так і часу, або залежати від інших зовнішніх і внутрішніх факторів.
Припущення про пропорційність швидкості росту популяції її чисельності було висловлено ще в 18 столітті Томасом Робертом Мальтусом (1766-1834) у книзі «Про зростання народонаселення» (1798). Відповідно до закону (1), якщо коефіцієнт пропорційності R=r=сonst (як це припускав Мальтус), чисельність зростатиме необмежено по експоненті.
У своїх роботах Мальтус обговорює наслідки цього закону в світлі того обставини, що виробництво продовольства та ін...
