ших товарів зростає лінійно, і отже, популяція, зростаюча експоненціально, приречена на голод.
Для більшості популяцій існують обмежувальні фактори, і з тих чи інших причин зростання популяції припиняється. Єдиний виняток представляє людська популяція, яка протягом всього історичного часу зростає навіть швидше, ніж по експоненті. (Див. Екологія математична , розділ Зростання чисельності людства). Дослідження Мальтуса справили великий вплив як на економістів, так і на біологів. Зокрема, Чарльз Дарвін пише в своїх щоденниках, що покладені в основу моделі Мальтуса припущення і пропорційності швидкості росту популяції її чисельності видаються вельми переконливими, і з цього випливає необмежений експоненціальне зростання чисельності. Водночас, жодна з популяцій у природі не росте до нескінченності. Отже, існують причини, які перешкоджають такому зростанню. Одну з таких причин Дарвін бачить у боротьбі видів за існування.
Закон експоненціального зростання справедливий на певній стадії росту для популяцій клітин в тканини, водоростей або бактерій в культурі. У моделях математичне вираз, що описує збільшення швидкості зміни величини із зростанням самої цієї величини, називають автокаталитического членом ( авто - саме, каталіз -модифікація швидкості реакції, зазвичай прискорення, за допомогою речовин, які не беруть участі в реакції) Таким чином, автокаталіз - «само прискорення» реакції.
Обмежений ріст. Рівняння Ферхюльста
Базовою моделлю, яка описує обмежений ріст, є модель Ферхюльста (1848):
(2)
Тут параметр K носить назву «ємності популяції» і виражається в одиницях чисельності (або концентрації). Він не має якого-небудь простого фізичного або біологічного сенсу і носить, системний характер, тобто визначається цілим рядом різних обставин, серед них обмеження на кількість субстрату для мікроорганізмів, доступного обсягу для популяції клітин тканини, харчової бази або притулків для вищих тварин.
Графік залежності правій частині рівняння (2) від чисельності x та чисельності популяції від часу представлені на рис. 1 (а і б).
Рис.1. Обмежений ріст. Залежність величини швидкості росту від чисельності (а) і чисельності від часу (б) для логістичного рівняння.
В останні десятиліття рівняння Ферхюльста переживає другу молодість. Вивчення дискретного аналога рівняння (2) виявило зовсім нові і чудові його властивості [3,5]. Розглянемо чисельність популяції в послідовні моменти часу. Це відповідає реальній процедурі перерахунку особин (або клітин) в популяції. У найпростішому вигляді залежність чисельності на часовому кроці номер n +1 від чисельності попередньому кроці n можна записати у вигляді:
(3)
Поведінка в часі змінної x n може носити характер не тільки обмеженого зростання, як було для безперервної ...
