з перетворенням квадрата в квадрат з подвоєною площею, де потрібно побудувати один відрізок х, що задовольняє співвідношенню. Але правильність цього твердження Гіппократа легко доводиться за допомогою нашої символіки таким чином. Із зазначеного співвідношення можна отримати такі рівності:
,,,
перемноживши потім ліві і праві частини цих нерівностей, отримаємо
, або,
звідки і виходить
і.
З цього очевидно, що якби вдалося якимось чином побудувати відрізок прямої як одне з середніх геометричних і, то тим самим було б знайдено ребро шуканого куба, обсяг якого був би в два рази більше даного.
Нам невідомо, чи намагався сам Гіппократ побудувати відрізки, що задовольняють рівнянням
,
і якщо намагався, то які результати були отримані ним. Але судячи з того, як високо оцінювали стародавні греки геометричні здібності Гіппократа, а також на підставі того, що йому вдалося отримати блискучі результати у вирішенні двох знаменитих завдань давнини, можна цілком припустити, що він поклав початок застосування методу «вставок» при вирішенні цього завдання , і міг, таким чином, її вирішити. Але якщо допустити, що Гіппократові вдалося тільки звести задачу знаходження відрізка до задачі знаходження вставок і, задовольняють рівнянням, то і тоді слід високо оцінити результати спроби Гіппократа у вирішенні знаменитої задачі, бо вони відкрили перспективи робіт багатьох вчених в напрямку відшукання різних способів побудови відрізків і .
.2 Рішення Архита Тарентського
Наприкінці 5 століття до н.е. у зв'язку з винаходом стреломет і камнеметов виникла ще необхідність подвоєння обсягу тяжа, за допомогою якого" стріляло" знаряддя, щоб подвоїти відстань польоту стріли і каменю. Це теж могло сприяти розвитку інтересу до задачі подвоєння куба. Одним з перших давньогрецьких вчених, що використали результати Гіппократа Хиосського при вирішенні задачі про подвоєння куба, був Архіт з Тарента. Він є відомим полководцем і найбільшим математиком кінця століття до н.е.
Евтокій у зазначених коментарях з посиланням на «Історію геометрії» Евдема так описує рішення про побудову двох середніх геометричних Архітом.
Нехай потрібно знайти середніх пропорційних між даними відрізками, де (в окремому випадку може бути, тоді перше з шуканих середніх пропорційних, як уже говорилося, дорівнюватиме ребру куба, в два рaзa більшого, ніж куб з ребром a, але ні в цьому рішенні, ні в інших, ізлaгaемих нижче, нічого не змінюється від того, рaссмaтрівaем ми цей окремий випадок або загальний випадок, в якому може і не рівнятися).
Малюнок 1. Допоміжні побудови для вирішення Архита Тарентського
Побудуємо коло з діаметром, нехай лежить на цій кола та, a точка лежить на перетині прямий і кaсaтельной до кола в точці. Нехай, крім того,-прямaя, що проходить через і перпендикулярна площині кола, a - коло, получaемaя поворотом кола на? щодо осі (площини кіл і перпендикулярні один одному, a діаметр у них загальний). ссмотрім три поверхні:
циліндр з основою;
конус, одержуваний обертанням прямої навколо осі;
вироджений тор - поверхня, одержуваної обертанням окружності щодо осі l.
Нехай всі три поверхні перетинаються в деякій точці - проекція цієї точки на площину кола.
Так як належить циліндру, лежить на колі. ...
