Так як належить тору, вона належить деякої окружності діаметра, площина якої перпендикулярна кола та яка проходить через точку. Нехай ця площина перетинає площину кола по деякій прямій (частиною якої є діаметр кола), тоді і точка належить цій прямій і лежить на діаметрі кола
Так як належить конусу, кути рівні. Нехай - точка відрізка, така, що-проекція точки на площину кола (легко бачити, що належить прямій - проекції прямої на ту ж площину). Так як і належать конусу і рaвноудaлени від його вершини, вони прінaдлежaт якоїсь окружності, площина якої перпендикулярна осі конуса, a центр лежить на цій осі. Діаметром окружності T є хорда окружності, перпендикулярна діаметру; одним з кінців цієї хорди є точка, a другий позначимо. Точка також належить цій хорді, a так як перпендикулярно, виходить, a оскільки належить і хорді,., Отже,
, або.
З цього випливає, що прямокутні трикутники подібні, a значить, кути рівні і кут прямий. Прямокутні трикутники подібні, і Таким чином, - шукані середні пропорційні між B Зокрема, якщо, то - ребро куба, в рaзa більшого за обсягом, ніж куб з ребром a.
Глава 2. Рішення завдання в Стародавній Греції після Архита. Рішення за допомогою конічних перерізів
Можливо, у зв'язку з тим, що завдання про подвоєння куба продовжувала привертати до себе увагу вчених, а вирішення її Архітом уявлялося їм складним, в Древній Греції тривали пошуки нових методів побудови середніх пропорційних для двох даних відрізків.
В 4 в. до н.е. відомими вченими Древньої Греції, які займалися вирішенням делосской завдання, були Евдокс і Менехм.
.2 Перше рішення Менехма
Що стосується Менхема, то Евтокій у своїх коментарях наводить два його рішення. Розглянемо першу:
«Нехай дві задані прямі будуть перпендикулярні один одному. Нехай для них середні пропорційні будуть, так що:. Проведемо перпендикуляри, так як, то точка знаходиться на параболі з віссю. Потім так як то прямокутник між, тобто другий заданої лінією і дорівнюватиме квадрату на або на? Z, тобто 2, Значить Z знаходиться на параболі з віссю? В.Но вона знаходиться і на другий параболі з віссю ВЕ, значить точка відома. Потім, так як? Z і ZE перпендикулярні, то будуть відомі і точки? і Е.
Побудова проводиться так: нехай дві задані прямі АВ і ВГ будуть взаємно перпендикулярні, продовжимо їх з В до нескінченності. На осі ВЕ побудуємо параболу так, щоб її опущені на ВЕ ординати квадрировать на АВ (тобто Обидві ці параболи перетнуть один одного в точці Z. Проведемо з Z перпендикуляри Z? Та Zе. Оскільки в одній параболі проведена ордината Zе, т . е.? В, то значить прямокутник між ГВ і ВЕ дорівнює квадрату на B?, тобто, і тому ГВ відноситься до B? як? У до ВЕ. Але? В відноситься до ВЕ як ГВ до ВА і, отже , ГВ відноситься до B? як? У до ВЕ і як ВЕ до ВА, тобто, що й потрібно отримати.
Отже, в даному рішенні використовуються дві параболи. Якщо перевести цю задачу на мову аналітичної геометрії, то справа зводиться до знаходження абсциси точки перетину двох парабол, рівняння яких
З другого рівняння випливає, що у=х2/a2, підставляємо в перше і отримуємо x4/a2=2ax або х3=2а3 і х=а. Таким чином, шукане ребро куба є абсциса точки перетину двох парабол.
.2 Друге рішення Менехма
Аналогічно першому, але в цьому випадку він використовує параболу ...
