еред тим, як перейти до розгляду методики вивчення прийомів письмового додавання і віднімання в початкових класах, необхідно виявити математичні основи вивчення арифметичних дій, встановити їх найважливіші закони і правила, також взаємозв'язок їх компонентів та результатів.
Поняття дії додавання і віднімання в математиці можна розглянути з двох точок зору: з позицій аксіоматичної теорії і теоретико-множинного підходу.
За правилами аксіоматичної теорії побудови безлічі N визначити складання натуральних чисел можна, використовуючи відношення «безпосередньо слідувати за». Дамо визначення з позицій цієї теорії: складанням натуральних чисел називається алгебраїчна операція, визначена на множині натуральних чисел N і володіє властивостями:
1)
) [25, с.232]
Кількість a + b називається сумою натуральних чисел чисел a і b, а самі числа a і b - доданками.
При побудові безлічі Z0 використовується теж визначення додавання, в якому змінюється тільки перша властивість
Доведено, що алгебраїчна операція, що володіє вказаними властивостями єдина і вона існує [52, C. 233]
Додавання натуральних чисел має властивості коммутативности і асоціативності. Розкриємо їх визначення без доказу.
I. Комутативними закон додавання (переместітельний):
. Асоціативний закон додавання (сполучний):
Зупинимося на теоретико-множині сенсі суми nZ0, Розкриємо сенс визначення складання [52, с. 128].
Розглянемо задачу, яку вирішують першокласники: «Петя знайшов 4 гриба, а Ніна - 3. Скільки всього грибів знайшли хлопці?» Завдання вирішується за допомогою дії додавання: 4 + 3=7. Але як пояснити чому використано додавання, а не інша дія?
Уявімо умову задачі наочно, зобразивши кожен гриб, який знайшов Петя гуртком, а кожен гриб, знайдений Ніною, квадратом (рис. 1).
рис. 1
Щоб відповісти на питання завдання, треба до грибів Петі додати (приєднати) гриби Ніни, тобто об'єднати два безлічі грибів (рис. 2), і порахувати, скільки в цьому об'єднанні виявилося елементів.
рис. 2
Бачимо, що складання цілих невід'ємних чисел тісно пов'язане з операцією об'єднання множин.
Тому з погляду теоретико-множинного підходу суму визначають через об'єднання непересічних множин.
Визначення: сумою цілих невід'ємних чисел a і b називають число в об'єднанні непересічних множин A і B, таких, що n (A)=a, n (B)=b:
Пояснимо, користуючись даним визначенням, що 5 + 2=7. 5 це число елементів деякого безлічі А, 2 - число елементів деякого безлічі В, причому їх перетин повинно бути порожньо. Візьмемо, наприклад, множини, B={a, b}. Об'єднаємо їх:. Шляхом перерахунку встановлюємо, що n=7.Следовательно, 5 + 2=7.
Дія, за допомогою якого знаходять суму, називається складанням, а числа, які складають, називають доданками.
У початковому курсі математики складанням невід'ємних чисел вводиться на основі практичних вправ, пов'язаних з об'єднанням двох множин предметів (теоретико-множинна термінологія і символіка при цьому не використовується). Головним засобом розкриття теоретико-множинного сенсу складання є вирішення простих арифметичних завдань. Суть рішення однієї такої задачі проаналізована вище.
Зупинимося на визначенні віднімання натуральних чисел з погляду вищевказаних теорій.
При аксіоматичному побудові теорії натуральних чисел спочатку дається визначення різниці, потім віднімання.
Різницею натуральних чисел a і b називається таке натуральне число с, що b + с=a. [52, C.136].
Дія, за допомогою якого знаходиться різницю чисел a і b називається відніманням.
З визначення видно, що віднімання - це дія, зворотне додаванню.
Кількість a - b називається різницею чисел а і b, число а - зменшуваним, число в - від'ємником.
Відомо, що алгебраїчна операція, яка задовольняє вказаною умові на множині натуральних чисел, існує не завжди. Є тільки необхідна умова існування різниці і воно єдино: різниця натуральних чисел а і b існує тоді і тільки тоді, коли b lt; a. Якщо різниця існує, то вона єдина [52, C. 136].
Виходячи з визначення різниці натуральних чисел і умови його існування, можна обгрунтувати відомі правила, що зв'язують додавання і віднімання натуральних чисел [56, C. 140-141].
1. ????????? ????? ?? ?????: ????? ??????? ????? ?? ?????
?????????? ??????? ??? ????? ?? ?????? ?????????? ????? ? ? ??????????? ?????????? ????????? ?????? ?????????.
, b, c,
(a + b) - c=1)
)
)
??????: (5768 + 929) 668=(5768 668) + 929=6029.
.
. ?...
