Зокрема, дискретні кінцеві групи (до яких належать, наприклад, Федоровські групи) набули поширення в теорії багатовимірних просторів у зв'язку з теорією правильних багатогранників в них. У основі таких переглядів лежить теорема Жордана: число кінцевих лінійних груп заданого виміру істотно звичайно. p> Та ж теорема отримала додаток на рубежі XIX-XX ст. в теорії алгебраїчних інтегралів лінійних диференціальних рівнянь, ріманових поверхонь та ін Наприклад, Жордан вказав на зв'язок між лінійними диференціальними рівняннями, що мають алгебраїчні інтеграли, і кінцевими групами. Виявилося, що необхідною і достатньою умовою існування алгебраїчних інтегралів у лінійного диференціального рівняння фуксових типу є умова кінцівки групи лінійних перетворень, зазнає його інтегралами при обході незалежної змінної навколо кожної з критичних точок. br/>
5.3 Теорія груп і автоморфні функції
Є зв'язок між теорією груп і автоморфних функціями.
Класична теорія автоморфних функцій, що виникла в працях Клейна і Пуанкаре, була пов'язана з вивченням аналітичних функцій в одиничному крузі, інваріантних відносно дискретної групи перетворень. Оскільки сам одиничний коло можна розглядати, як площину Лобачевського в інтерпретації Пуанкаре, то можна сказати, що класична теорія автоморфних функцій пов'язана з вивченням аналітичних функцій на площині Лобачевського, інваріантних щодо деякої дискретної групи рухів цій площині. p> Істотну роль після Клейна і Пуанкаре в розвитку теорії автоморфних функцій зіграли Гекке, Зігель, Зельберг, Годман, Петерсон. У роботах цих вчених простежується зв'язок між деякими аспектами теорії автоморфних функцій і теорією груп. p> Процес розвитку теорії автоморфних функцій все більш показував важливість теоретико - групового підходу. І тепер багато понять теорії автоморфних функцій досить просто зв'язати з деякою довільній групою Лі або її дискретної підгрупою. p> Особливо виразно зв'язок між теорією груп і автоморфних функціями проявилася в 50х, 60х роках XX століття. Точніше мова йде про зв'язок з теорією уявлень груп. Варто відзначити, що все це відбулося під впливом стрімкого розвитку теорії нескінченновимірних уявлень групп. Побудова ж нескінченновимірних уявлень груп Лі повністю виявило всі залежності. p> Однією з перших робіт у цьому напрямку була робота Гельфанда і Фоміна, в якій поняття теорії уявлень зв'язувалися з теорією динамічних систем і теорією автоморфних функцій.
Крім нескінченновимірних уявлень груп Лі велику роль у формуванні сучасної теорії автоморфних функцій відіграло створення алгебраїчних групи в роботах Шевалле, Бореля, Титце.
Одним з найбільш чудових понять, що з'явилися і застосувати в теорії автоморфних функцій в середині XX століття, з'явилася група Аделей. З групою Адель, що наприклад, пов'язано чудове однорідне простір (простір класів суміжності по підгрупі головних Адель),, яке дуже зручно для розгляду функцій н...
