и гомологий і когомологій. p> Групи Лі застосовуються при вивченні диференціальних рівнянь і різноманіть; вони поєднують в собі теорію груп і математичний аналіз. Область аналізу, пов'язана з цими групами, називається гармонійним аналізом. p> У комбінаториці поняття групи підстановок і дії групи використовуються для спрощення підрахунку числа елементів у множині; зокрема, часто використовується лема Бернсайда.
Розуміння теорії груп також дуже важливо для фізики та інших природничих наук. У хімії групи використовуються для класифікації кристалічних граток і симетрій молекул. У фізиці групи використовуються для опису симетрій, яким підкоряються фізичні закони. Особливо важливі у фізиці уявлення груп, зокрема, груп Лі, так як вони часто вказують шлях до В«можливимВ» фізичним теоріям. p> Розглянемо тепер більш детально, як застосовуються групи в різних галузях науки.
5.1 Алгебраїчна топологія і групи
В алгебраїчній топології групи використовуються для опису інваріантів топологічних просторів. Під інваріантами тут маються на увазі властивості простору, не змінні при якомусь його деформуванні. Приклади такого використання груп - фундаментальні групи, групи гомологий і когомологій. p> В алгебраїчній топології і пов'язаних з нею галузях математики фундаментальної групою називається алгебраїчний об'єкт, який зіставляється топологічному простору і вимірює, грубо кажучи, кількість дірок в ньому. Наявність дірки визначається неможливістю безперервно стягнути деяку замкнену петлю в точку. Фундаментальна група є першою з гомотопічних груп. p> Розглянемо приклад застосування груп до топології:
Припустимо, що кожному топологічному простору X зіставлено група F (X). Нехай крім того кожному безперервному відображенню f: X Г Y відображення одного простору в інший зіставлений гомоморфізм f *: F (X) Г F (Y) відповідних груп. Таке зіставлення просторів - груп, отображениям - гомоморфізмів називається коваріантним функтором з категорії топологічних просторів у категорію груп, якщо виконуються наступні дві умови: 1) Якщо f тотожність, то f * також тотожність. 2) Якщо суперпозиція fg визначена, те (fg) * і f * g * ізоморфні. p> Справедлива наступна теорема: Якщо простору X і Y гомеоморфні, то F ( X) і F (Y) ізоморфні. p> На це теоремі заснований спосіб застосування груп (функторів) в топології. Припустимо нам треба з'ясувати різні чи простору X і Y. Візьмемо який-небудь функтор F і порівняємо групи F (X) і F (Y). Якщо F (X) і F (Y) різні, те простору X і Y теж різні. Якщо F (X) і F (Y) ізоморфні, то про простору X і Y нічого сказати не можна. p> Таким чином, знання деякого функтора з категорії топологічних просторів у категорію груп дозволяє в деяких випадках довести різність просторів.
5.2 Теорія багатовимірних просторів, теорії алгебраїчних інтегралів лінійних диференціальних рівнянь і групи
Групи знайшли своє застосування в теорії багатовимірних просторів. ...
