а рішення останнього рівняння В
(6.32)
Загальне рішення додаткового рівняння
В
(6.33)
буде
В
(6.34)
де А - постійна інтегрування, що визначається умовами завдань.
Величина рівна відношенню повної теплоємності З тіла до його теплоотдающей здатності називається постійної часу.
Загальне рішення рівняння:
В
(6.35)
Для визначення постійної А використовуємо наступне умова: при
повинно бути означає
(6.36)
Підставляючи отриманий вираз, матимемо
В
(6.37)
На рис.6.6 представлено графічне зображення останнього виразу, з якого видно, що при t = зі
В
(6.38)
Звідки випливає, що
В
(6.39)
В
рис.6.6. Залежність перевищення температури від часу при нагріванні однорідного тіла
Таким чином, т 0 одно сталому перевищенню температури, коли виділяється потужність Р стає чисельно рівної потужності, що віддається в навколишнє середовище з поверхні нагрітого тіла ( k ^ 0 SxJ ) .
Очевидно
(6.40)
З (6.39) випливає:
В
(6.41)
Дотична до кривої на початку координат відсікає на прямий too відрізок, рівний у вибраному масштабі постійної часу Т.
Неважко показати, що при
В
(6.42)
На підставі цього можна визначати постійну часу Т як час, необхідний для досягнення усталеного перевищення температури (див. рис.6.6).
З точністю можна вважати, що процес встановлення температури відбувається через час, рівний
Після відключення апарата починається його охолодження. Так як енергія, що підводиться до апарату, дорівнює нулю, то ліва частина також дорівнює нулю:
(6.43)
Рішення рівняння (6.43) має вигляд:
В
(6.44)
де А - постійна інтегрування, рівна
(6.45)
Остаточно отримуємо:
В
В В
Основи теорії передачі тепла теплопровідністю
Основний закон теплопровідності біо - Фур'є
Основний закон теплопровідності математично описується виразом
В
(6.46)
Тут: кількість тепла, що передається за час dt
через майданчик S в напрямку нормалі до останньої;
похідна від температури вздовж нормалі (п) до
майданчику S;
коефіцієнт теплопровідності {вт/м В° С) . p> Знак (-) показує, що тепло передається в напрямку убування температури вздовж нормалі (п) до майданчика ( S ).
Поділивши обидві частини рівності на dt , отримаємо кількість тепла, що проходить в одиницю часу через майданчик S
(6.47)
Похідна є тепловим потоком через майданчик S. Ставлення
(6.48)
представляє собою щільність теплового потоку в будь-якій точці на поверхні S. Таким чином, рівність можна написати в наступному вигляді
В
(6.49)
Передача тепла теплопровідністю крізь товщу стінки, обмежену двома площинами
Розглянемо найпростіші випадки, коли тепловий потік Ф і його щільність Ф 0 НЕ змінюються в часі (стаціонарний стан) і в просторі.
Такий випадок може мати місце при наявності стінки завтовшки б , обмеженою двома паралельними площинами і розділяє два середовища (рідких або газоподібних) з різними температурами (рис. 6.7).
Нехай температура fli на всьому протязі одного боку стінки 1 буде більше, ніж температура Ь 2 на протилежній стороні. Припускаючи, що площа стінки досить велика (Теоретично не обмежена), можна припустити, що поверхні з однаковою температурою (ізотермічні поверхні) в товщі стінки будуть представляти собою площині, паралельні граничним поверхням, які мають постійні (але різні) температури на всьому протязі кожної поверхні. При цьому природно, що зміна температури буде відбуватися тільки в напрямку нормалі до поверхні стінки. Внаслідок цього, направляючи вісь ординат вздовж стінки 1 , вісь абсцис - вздовж нормалі до поверхні стінки, і замінюючи букву п буквою х в рівності можна написати:
В
Цьому диференціального рівняння відповідають такі граничні умови:
В
Рішенням рівняння буде
(6.50)
Для визначення З х використовуємо умову:
т. е.
З останнього рівно...
