оординат отримуємо:
t ( J m + J m ) = 13M + 6S, (2 J m ) = 4M + 4S.
Таким чином, ми отримали систему координат, в якій дуже вигідно виробляти операцію подвоєння точки (при цьому на криву не накладаються ніяких обмежень). Однак операція складання в даній системі координат вимагає ще більше часу, ніж у звичайній системі координат Якобі. Розглянемо далі метод, який дозволить нам використовувати переваги різних систем координат. p align="center"> Змішані координати
З викладеної вище теорії можна зробити висновок, що на даний момент не виявлено В«універсальноїВ» системи координат. Деякі системи координат дозволяють швидко робити подвоєння точки, інші - додавання двох точок. Однак при реалізації алгоритмів на еліптичних кривих зовсім не обов'язково використовувати тільки одну систему координат. Якщо нам потрібно складати різні точки, можна використовувати одну систему координат, а якщо потрібно виробляти подвоєння точки - іншу. При цьому в деяких випадках ми можемо навіть складати точки, які представлені в різних системах координат. Розглянемо приклад використання цього методу. p align="justify"> Будемо будувати алгоритм множення точки еліптичної кривої P на число k . Візьмемо в якості бази алгоритм, в якому k представляється у NAF (Non-adjacent form), і читається справа наліво. На кожному кроці алгоритму відбувається подвоєння точки P і, можливо, додавання точки P з результуючої точкою P *.
Додамо тепер в цей алгоритм використання змішаних координат. Подвоєння точки P щоразу будемо робити в модифікованої системі координат Якобі, тобто в самій вигідною для цього системі координат. Тепер нам потрібно підібрати таку систему координат X , яка б дозволяла виробляти складання виду J m + X = X і при цьому витрати на цю операцію були б мінімальними. На роль такої системи підходить звичайна система координат Якобі. При цьому для складання виду J m + J = J не потрібно виконувати ніяких перетворень координат (четверта координата J m просто іг...
