В«Наполеон є грек В»- хибне;
В«Ньютон є грекВ» - Помилково і т. д.
Більше загально можна розглядати вираз виду В«X є грекВ», де буква X вказує місце, на яке потрібно підставити ім'я деякого людини, щоб отримати вислів - істинне або помилкове. Але, як нам вже відомо, істотним властивістю висловлювання є його значення істинності і чи л. Стаючи на цю точку зору, логіка предикатів вважає вираз В«X є грекВ» функцією, аргумент якої X пробігає клас всіх людей, а сама функція приймає в якості значень і чи л. Якщо ми будемо, як це прийнято в математики, В«X є грекВ» записувати скорочено, наприклад у вигляді Гр (X), то для значення X = Сократ отримаємо Гр (Сократ) - і, а скажімо Гр (Наполеон) - л і т. д. Щодо інших наведених прикладів можна дослівно повторити все те, що було сказано щодо першого.
Таким чином, предикатом або, краще, предикатом-властивістю будемо вважати функцію, певну на деякій універсальній множині і приймаючу значення і і л . Ті елементи, для яких значення предиката В«істинноВ», володіють даними властивістю, інші не мають.
Звідси відразу видно, що насправді всякий предикат-властивість цілком визначається підмножиною тих об'єктів, на яких дана функція приймає значення В«ІстинноВ». Корисно навести приклади предикатів-властивостей з області арифметики. Такими будуть, наприклад, властивості натуральних чисел В«бути простим числомВ», В«Бути парним числомВ», В«бути квадратомВ» і т. д.
Зупинимося на прикладі В«три є просте числоВ» і на відповідному предикате-властивості В«бути простим числом В». Введемо для цієї властивості скорочене позначення Пр (X). Предикат Пр (X) визначений на множині натуральних чисел. Маємо Пр (1) = л (оскільки 1 не прийнято розглядати як просте число). Пр (2) = і, Пр (3) = і, Пр (4) = л, ..., Пр (10) = л, Пр (11) = і і т. д.
Подібно наведеним предикатам-властивостям, математична логіка розглядає більше загальне поняття предиката-відносини. Залежно від того, між яким числом об'єктів встановлюється відношення, ми розрізняємо двомісні (бінарні), тримісні (тернарние) і т. д., в загальному випадку - n-місні відносини. Розглянуті вище предикати-властивості вважаються унарними предикатами. Нарешті, виявляється зручним в поняття предиката-відносини як окремий випадок включити і висловлювання в якості В«0 - місцевих предикатівВ».
Всі математичні дисципліни мають справу з предикатами-відносинами, причому самими поширеними є бінарні відносини. Вони описуються, різними словами: "рівні", В«не рівніВ», В«більшеВ», В«меншеВ», В«ділитиВ», В«перпендикулярніВ», В«ПаралельніВ» і т. д.
За аналогією з предикатом-властивістю двомісним предикатом вважається знову функція, на цей раз від двох аргументів, визначених на деякій універсальній множині, приймаюча значення і (істинно) і л (хибно): ті пари елементів, для яких функція приймає значення і , знаходяться в розглянутому відношенні, інші пар...
