«за допомогою циркуля і лінійки». Вирішити завдання на побудову в площині за допомогою циркуля і лінійки - значить, звести її до виконання точно певного числа наступних побудов:
а) провести прямі лінії через дві відомі точки;
b) визначення точки перетину двох відомих прямих;
с) провести коло з відомим центром і відомим радіусом;
d) визначення точки перетину відомої кола (окремий випадок - відкладання відрізка рівного даному);
е) визначення точок перетину двох відомих кіл.
Завдання IV. Вибрати довільну точку, що лежить або не лежить на відомої прямий (відповідно до аксіомою стереометрії), лежачу або не лежить у відомій площині (відповідно до аксіомою стереометрії ); вибрати довільну пряму проходить або що не проходить через відому точку, що лежить або не лежить у відомій площині; вибрати довільну площину, що проходить або що не проходить через відому точку, що проходить або що не проходить через відому пряму.
У наведених формулюваннях під «відомими» розуміються ті точки, прямі, кола та площині, які або дані в самому умові задачі, або вже визначені на попередніх етапах виконання завдання, або обрані довільно (відповідно до аксіомами ) в задачах II , III (b) , III (d) , III (e) пропонується застереження «якщо ці прямі (точки) існують».
Перерахуємо кілька найпростіших завдань на побудову, які легко зводяться до завдань I-IV , тобто головним у вирішенні завдань є те, що відшукання шуканої прямий або шуканої площини зводяться до кінцевого числа завдань I-IV .
Завдання 1. Провести площину через пряму і не лежить на ній точку, через дві пересічні прямі, через дві паралельні прямі.
Завдання 2. Побудувати точку перетину даної прямої і даній площині.
Завдання 3. Через цю точку, що не лежить на даній прямій провести пряму паралельну даній прямій.
Завдання 4. Дано перехресні прямі, провести через одну з них площину паралельну інший.
Завдання 5. Дано дві перехресні прямі, провести через кожну з них по площині так, щоб вони були паралельні між собою.
Завдання 6. Побудувати площину, що проходить через дану точку і паралельну двом даними прямим.
Зі сказаного вище випливає, що виконання геометричної побудови в просторі грунтується на можливості виробляти наступні сім елементарних операцій.
Зміст елементарної операціі.В яких випадках операція виполніма.1. Взяти одну або кілька точок: а) на площині або поза її; б) на прямій або поза її; в) на колі або поза её.Всегда.2. Провести пряму: а) довільну; б) проходить через дану точку; в) проходить через дві дані точки; г) на площині або поза её.Всегда.3. Провести площину: а) довільну; б) через три точки, що не лежать на одній прямій; в) через пряму і не лежить на ній крапку; г) через дві пересічні прямі; д) через дві паралельні прямие.Всегда.4. Визначити точку перетину: а) двох даних прямих; б) прямий і плоскості.Еслі ця точка существует.5. Визначити лінію перетину двох даних плоскостей.Еслі ця лінія существует.6. Описати коло: а) з довільної точки довільним радіусом; б) з довільної точки належним радіусом; в) з даної точки довільним радіусом; г) з даної точки даними радіусом.Всегда.7. Знайти точки перетину даної лини з даною окружностью.Еслі ці точки існують.
Для оформлення рішення завдань приймемо такі угоди:
) для позначення точок будемо вживати великі латинські літери: A , B , C , D ... і т.д .; для позначення прямих - малі латинські літери: a , b , c , d , ... і т. д .; для позначення площин - грецькі літери: ? , ? , ? , ... ;
) точку A перетином прямих a і b будемо позначати так: A = a? b ; пряму a - перетинанням площин ? і ? будемо позначати так: a = ??? ;
) якщо точка A належить площині ? або прямої a , т...
