мволом
Розглянемо две послідовності додатних чисел:
(1+) 1, (1+ 2, (1+) 3, ..., (1+) n, ...
и
(1+) 2, (1+) 3, (1+) 4, ..., (1+) n + 1, ...,
Які відіграють Важлива роль у математичность аналізі.
Позначімо
? n=(1+) n,? n=(1+) n + 1, n 1.
Доведемо Такі Властивості ціх послідовностей:
1)? n? n, тобто (1+) n (1 +) n + 1, n 1;
2)? n - 1? n, тобто (1+) n - 1 (1+) n, n 2;
3)? n - 1? n, тобто (1+) n (1 +) n + 1, n 2.
Перша з ціх властівостей є очевидною, бо
? n=(1+) n + 1 =? n (1+) =? n +? n, n 1.
Щоб довести следующие две Властивості, вікорістаємо нерівність Коші:
,
Яка справджується для довільного набору різніх невід ємніх чисел.
Для n 2, r=n и
u 1=1 u 2=u 3=...=un=
з нерівності Коші матімемо:
звідки
або
.
Як бачим, нерівність (2) доведено.
Если ж покласть r=n + 1 і 1=1, u 2=...=u n + 1 =,
то з нерівності Коші дістанемо:
,
звідки
Або
.
Записати Останню нерівність у виде
,
дістанемо нерівність (3).
Отже, для шкірного n справджуються нерівності:
? 1 lt; ? 2 lt;... Lt; ? n lt; ? n lt; ? n - 1 lt;... Lt; ? 1.
На підставі ціх нерівностей можна твердити, что послідовність
? 1,? 2, ...,? n, ...
є ЗРОСТАЮЧИЙ и ограниченной. За теореми про ограниченной ЗРОСТАЮЧИЙ послідовність існує число, Пожалуйста є границею послідовності
Це число позначають буквою е . Отже,
2.5 Ряд Діріхле
Розглянемо ще питання про збіжність одного Важлива ряду, Який зовні подібний до гармонічного ряду. Нехай? Довільне число, таке, що? gt; 1. Йдеться про ряд
(5)
Ряд (5) є збіжнім при шкірному. Мі розглянемо доведення только для значень? 2. Доведення у випадка 1 lt; ? lt; 2 складніше. Для доведення збіжності ряду (5) треба Розглянуто послідовність Частинами сум
S 1=1, S 2=1 +, ...,
S n=1 + + ... +, .... (6)
Очевидно,
S n + 1=S n + S n,
того послідовність (6) є ЗРОСТАЮЧИЙ.
Щоб Встановити обмеженість послідовності (6), спочатку доведемо методом математичної індукції таку допоміжну нерівність:
(7)
Справді, для n=1 маємо істінну Рівність
.
Если ж нерівність (7) справджується для числа n , то
Легко довести, что
Звідсі та з нерівності (8) маємо:
Отже, за принципом математичної індукції нерівність (7) доведено для усіх.
З нерівності (7) та з того, что n ? ? n 2 для ?? 2 и n? 1 , маємо:
Отже, необмеженість послідовності Частинами сум (6) для ряду (5) встановл. Послідовність (6) за теореми про ЗРОСТАЮЧИЙ ограниченной послідовність збігається до Деяк числа z (?), Пожалуйста покладів від?. Тобто
Ряд (5) - Належить до Важлива класу рядів, Які часто Використовують в різніх Розділах математики и назіваються рядами Діріхле на честь німецького математика Л. Діріхле. Сума ряду (5) є функцією від?, Что определена при? Gt; 1. Ця функція є відомою дзета-функцією Рімана. Встановлення Деяк властівостей цієї Функції ї досі один з Важка математичних проблем.
2.6 Ряд Фур є
