равді, легко перевіріті, что
Теорема. Довільна ЗРОСТАЮЧИЙ ї обмежена послідовність u 1 , u < i align="justify"> 2 , ..., u n ,... має границю, тобто існує таке число u, что
Аналогічній факт має місце и для спадної обмеженої послідовності, тобто для послідовності u 1, u 2, ..., un, ..., у якої з
для Деяк числа с. Це тверджень, Пожалуйста іноді вважають аксіомою, тут доводіті не будемо. Зростаючий послідовність u 1, u 2, ..., un, ..., яка НЕ ??є ограниченной, має таку властівість: для довільного числа з існує таке натуральне число N , что для чисел n N віконується нерівність u n c.
Справді, для довільного з існує хоча б Одне число N , таке, что u n c (бо, коли б u n c для всіх n 1 , то послідовність би була ограниченной). При n N u n u N c , что ї треба довести. Если послідовність u 1, u 2, ..., un, ... має згадану властівість, то іноді говорять, что послідовність u 1, u 2, ..., un, ... збігається +? и пишуть:
Отже, ЗРОСТАЮЧИЙ послідовність або має границю, або збігається до +?.
2.3 Гармонійній ряд
У Теорії нескінченних рядів Важлива роль відіграє ряд
1+ (2)
Який назівається гармонійнім . Ця назва пов язана Із середнім гармонійнім двох додатних чисел a и b . А самє, шкірні член ряду, починаючі з іншого, є середнім гармонійнім двох сусідніх - попередня и следующего. Зауважімо, что n-й член ряду зменшується Із збільшенням n и наближається до 0, коли n. Альо, як віявляється, сума Великої кількості доданків ряду (2) может буті скільки завгодно великою.
Гармонійній ряд розбігається . Цей факт Було Вперше встановл великим німецькім математиком Г. Лейбніцем у +1673 году. Щоб довести розбіжність ряду (2), спочатку розглянемо різніцю S 2n S n, де S n є Частинами сума:
S n=1 +
Для різниці S 2n S n, очевидно, маємо при n 1:
S 2n S n=(1+
(3)
Для частінної суми S 2m з номером 2 m з нерівності (3) для m дістаємо:
S 2m=S 2m? S 2m - 1 + S 2m - 1=(S 2m? S 2m - 1) + (S 2m - 1? S 2m - 2) + ... + (S 2? S 1) + S 1 (4)
Очевидно для довільного числа з існує таке натуральне число m, для которого маємо нерівність
m 2c? 2,
або, что ті ж самє, нерівність
.
За нерівністю (4) S 2m c. Отже, если покласть N=2 m, то матімемо нерівність S n
для всіх n N, бо послідовність S 1, S 2, ..., S n, ... ЗРОСТАЮЧИЙ:
S n + 1=S n + S n
Отже, послідовність Частинами сум S 1, S 2, ..., S n, ... збігається до, и того гармонічній ряд (2) розбігається.
Слід зауважіті, что зростання Частинами сум S 1, S 2, ..., S n, ... є очень повільнім. Л. Ейлер у творі «Діференціальне числення» наводити Такі прикладом. Для n=1000 Частин сума S 1000 набліжено дорівнює 7, 485; для n=1000000 набліжене значення для S 1000000 дорівнює лишь 14, 393.
2.4 Число е
Кількість е - одна з фундаментальних став математичного АНАЛІЗУ. Кількість Е не є раціональнім. Більше того французький математик Ш. Ерміт у +1873 году довів, что число е е набліжено дорівнює е ? ? +2,718281828459045. Віявілось, что очень Зручне в математиці користуватись логарифмами з основою е , ЦІ логарифми назівають натуральними и позначають си...
