орівнює швидкості поршня, - це викинути фізично безглузду область II і безпосередньо зімкнути області постійного течії I і III, припустивши, що в точці змикання газодинамічні величини терплять розрив, як показано на рис. 2.1.
Рисунок 2.1 - Профілі щільності і швидкості в ударній хвилі
Взагалі кажучи, закони збереження маси, імпульсу та енергії, які покладені в основу рівнянь динаміки нев'язкого і нетеплопровідного газу, не передбачають обов'язкову безперервність газодинамічних величин. Ці закони були сформульовані раніше у формі диференціальних рівнянь просто тому, що з самого початку передбачалася безперервність течії. Але ці ж закони можна застосувати і до областей, в яких газодинамічні величини відчувають розрив. З математичної точки зору розрив можна розглядати як граничний випадок дуже великих градієнтів газодинамічних величин, коли товщина шару, в якому відбувається кінцеве зміна цих величин, прагне до нуля. Оскільки в динаміці нев'язкого і нетеплопровідного газу, тобто за умови, що ми відволікаємося від молекулярної структури речовини, немає ніяких характерних довжин, остільки не обмежені можливості існування як завгодно тонких перехідних шарів, в межі зводяться до розриву. Ці розриви і являють собою ударні хвилі.
Знайдемо невідомі величини: щільність і тиск газу в стислій області,, а також швидкість поширення розриву по невозмущенная речовині D, виходячи із загальних законів збереження маси, імпульсу і енергії, виконання яких не підлягає сумніву. Параметри невозмущенного газу, і швидкість поршня u, з якою збігається швидкість газу, будемо вважати відомими. До моменту t в стовпі з перетином у 1 см 2 рух охоплює масу газу, рівну Dt. Ця маса займає обсяг (D - u) t, тобто щільність стисненого газу, задовольняє умові:
(2.1)
Маса набуває кількість руху - u, яке за законом Ньютона одно імпульсу сил тиску. Результуюча сила, що діє на стиснений газ, дорівнює різниці тисків до стОРОНІ поршня і з боку невозмущенного речовини, тобто
(2.2)
Нарешті, прирощення суми внутрішньої і кінетичної енергій стисненого газу дорівнює роботі зовнішньої сили, що штовхає поршень:
(2.3)
Скорочуючи в цих равенствах час t, одержимо систему трьох алгебраїчних рівнянь для визначення трьох невідомих величин,, D через відомі u,, (термодинамічна зв'язок, звичайно, передбачається відомої).
Перетворимо ці рівняння таким чином, щоб з правого боку рівностей стояли тільки величини, що відносяться до області перед розривом, а з лівого - параметри газу за розривом. Для цього зауважимо, що якщо D - швидкість поширення розриву по нерухомому газу, то=- D - швидкість, з якою невозмущенная газ втікає в розрив, a D - u - швидкість поширення розриву щодо рухомого за ним газу, тобто- Це швидкість, з якою газ витікає з розриву. Вводячи ці позначення в рівняння, запишемо закон збереження маси:
(2.4)
Закон збереження імпульсу за допомогою (2.4) набуває вигляду
(2.5)
Закон збереження енергії за допомогою рівнянь (2.4) і (2.5) перетвориться до виду
(2.6)
Вводячи питому ентальпію, можна переписати його інакше:
(2.7)
Отримані рівняння являють собою записані в найбільш загальній формі співвідношення між газодинамічними величинами на поверхні розриву, в який газ втікає у напрямку, нормальному до самої поверхні.
Чудово, що вони не містять ніяких припущень про властивості речовини і є вираженням лише загальних законів збереження маси імпульсу і енергії.
Рівняння (2.4) - (2.6) можна вивести і безпосередньо, розглядаючи розрив у системі координат, в якій він спочиває. Оскільки розрив є нескінченно тонким, всередині нього не відбувається накопичення маси, імпульсу і енергії. Отже, потоки цих величин з боку невозмущенного газу дорівнюють потокам по інший бік розриву. Якщо на розрив нормально до поверхні набігає газ з щільністю і швидкістю, то потік маси є він дорівнює масі; витікаючої через 1 см 2 в 1 сек з іншого боку розриву, тобто. Таким чином, отримуємо рівняння (2.4). Впадає через 1 см 2 в 1 сек маса має кількістю руху. Приріст кількості руху при переході через розрив одно імпульсу сил тиску за 1 сек р 0 - p 1 або, що те ж саме, потоки імпульсу з обох боків розриву рівні один одного (те, що величина являє собою щільність потоку імпульсу при плоскому русі.
Прирощення повної (внутрішньої і кінетичної) енергії газу, що протікає в 1 сек через 1 см 2 поверхні розриву, дорівнює роботі сил ...
