елемент можна вважати абсолютно ізольованим від всієї сукупності і апроксимувати функцію на цьому елементі за допомогою її значень у вузлах незалежно від того, яке місце займе розглянутий елемент в зв'язаної моделі, і від поведінки функції на інших кінцевих елементах.
На Рис. 2.1 розглянемо область АВСDF і апроксимуємо її сукупністю трьох трикутних подобластей вершини, яких можуть бути пронумеровані використовуючи або глобальну, або локальну нумерацію на кожному окремо взятому елементі.
Рис. 2.1. Розташування області на площині.
На Рис. 2.1 кожній вершині області поставлений у відповідність її глобальний номер, вказаний в круглих дужках. Координати глобального вузла однозначно визначають положення точки на площині.
Розглянемо область АВСDF у вигляді сукупності окремих елементів. Відповідне подання показано на рис. 2.2. У цьому випадку для кожного окремого елемента можна ввести свою локальну нумерацію. Вважаємо, що напрямок обходу при локальній нумерації однаково для всіх елементів моделі і при подальшому викладі будемо вести її проти годинникової стрілки.
На Рис. 2.2 для кожного елемента показаний глобальний номер його утворюють вершин і відповідна локальна нумерація в круглих дужках. Відзначимо, що початок локальної нумерації для вершин елемента не має принципового значення.
Рис. 2.2. Елементи області.
Таким чином, для однозначного визначення положення вузла необхідно вказати або його глобальний номер, або локальний номер в парі з номером розглянутого елемента. Так вузлова точка F може бути ідентифікована як глобальний вузол 2 або локальний вузол 3 третіх кінцевого елемента. Надалі при визначенні координат вузлів ми будемо використовувати як глобальну, так і локальну нумерації. У цьому випадку верхні індекси координати визначатимуть номер елемента і номер його локального вузла, а нижні індекси відповідно номер координатної осі і номер глобального вузла. Позначення розглядає k-ий кінцевий елемент, його m-ий локальний вузол, i-ую координатну вісь, l -ий глобальний вузол. Введеного позначення будемо дотримуватися і для ідентифікації переміщень вузлових точок.
Основним невідомим при вирішенні задач теорії пружності є вектор переміщення. Слідуючи ідеології методу кінцевого елемента, для кожного дискретного елемента вводиться локальна апроксимація певної на області функції. Їх кількість відповідає числу вузлів елемента. Таким чином, апроксимація поля переміщення на елементі через функції форми і вузлові значення переміщень визначається у вигляді [37, 45]:
де за однаковим індексом, розташованому вгорі і внизу двох що стоять поруч змінних мається на увазі підсумовування.
Найбільш простий спосіб отримання відповідних залежностей розгляд лінійної залежності на кожному локальному елементі. У цьому випадку локальні функції форми елемента визначаються у вигляді лінійної функції:
де - постійні i-ой функції форми для n-ого елемента.
Для однозначного визначення трьох постійних необхідно і достатньо, щоб елемент мав три вузла. Тому трикутний елемент на площині допускає тільки лінійну локальну апроксимацію і відповідний тип елемента в теорії кінцевих елементів носить назву симплекс-елемента.
Знайдемо постійні через вузлові координати елемента. По властивості функції форми для маємо:
Вирішуючи систему приходимо до виразів:
.
Для решти функцій форм отримуємо наступні значення постійних:
Знайдемо вираження деформацій для n-ого елемента:
де за індексом i ведеться підсумовування.
Відзначимо, що в межах симплекс-елемента деформації (2.7) - (2.9) приймають постійні значення.
.3 Рівновага кінцевого елемента
Припускаємо, що процес деформування квазістатичний і ізотермічний [32, 33]. Розглянемо умова рівноваги n-ого ізольованого кінцевого елемента у вигляді варіаційного принципу Лагранжа:
де - тензор напруг;
- Набла-оператор;
- площа елемента;
- контур, що обмежує елемент;
- вектор зовнішньої навантаження. Ліва частина співвідношення визначає роботу внутрішніх напруги елемента на можливих переміщеннях, а права частина - роботу зовнішнього навантаження по контуру елемента.
Розглянемо праву частину співвідношення:
де по повторюваним індексам мається на увазі підсумовування.
Введемо наступне позначення:
Величина позначає -ю проекцію вузловий сили в -ом вузлі кінцевого елемента. Співвідношення дозволяє при заданій зовнішнього навантаження і геометрії кінцевого елемента звести розподілену зовнішнє навантаження до вузлових точках елемента. З ур...
