иною може бути отримано при довільній зовнішньої навантаженні.
В роботі [53] показано, що введений лінійний розмір може бути отриманий з експерименту по податливості зразка з тріщиною в режимі пружного деформування. У статтях [6], [53] дані оцінки товщини шару через відомі механічні характеристики матеріалу.
Розглянемо зразок з тріщиною, показаний на рис. 1.2, з наступними геометричними характеристиками:
Рис. 1.2. Конфігурація зразка
На прикладі зразка Рис.2 змоделюємо відомі в механіці види деформування типу руйнування по моді I і моді II для матеріалу з наступними механічними характеристиками: Па, Па. Після знаходження ПДВ в елементах шару і зв'язаних з ним тіл визначаються елементи з максимальним дотичним напруженням [21]:
де - головні напруження тензора напружень.
Максимальне дотичне напруження згідно з критерієм Тріска-Сен-Венана визначатиме тенденцію до початку розвитку пластичної зони. Для вирішення даної задачі використовуємо метод кінцевих елементів.
2. Рішення завдання
2.1 Історія розвитку методу кінцевих елементів
Виникнення методу скінченних елементів пов'язано з вирішенням завдань космічних досліджень в 1950-х роках (ідея МКЕ була розроблена радянськими вченими ще в 1936 році, але через нерозвиненість обчислювальної техніки метод не отримав розвитку). Цей метод виник з будівельної механіки і теорії пружності, а вже потім було отримано його математичне обгрунтування. Істотний поштовх у своєму розвитку МСЕ отримав в 1963 році після того, як було доведено те, що його можна розглядати як один з варіантів поширеного в будівельній механіці методу Релея-Рітца, який шляхом мінімізації потенційної енергії зводить задачу до системи лінійних рівнянь рівноваги. Після того, як було встановлено зв'язок МКЕ з процедурою мінімізації, він став застосовуватися до завдань, описуваних рівняннями Лапласа або Пуассона. Область застосування МКЕ значно розширилася, коли було встановлено (у 1968 році), що рівняння, що визначають елементи в задачах, можуть бути легко отримані за допомогою варіантів методу зважених нев'язок, таких як метод Гальоркіна або метод найменших квадратів. Це зіграло важливу роль в теоретичному обґрунтуванні МКЕ, тому що дозволило застосовувати його при вирішенні багатьох типів диференціальних рівнянь. Таким чином, метод кінцевих елементів перетворився на загальний метод чисельного рішення диференціальних рівнянь або систем диференціальних рівнянь.
До сімдесятих років відноситься поява математичної теорії кінцевих елементів. Тут можна виділити праці І. Бабусі, Р. Галлагера, Ж. Дек-лу, Дж. Одена, Г. Стренга, Дж. Фікса. Значний внесок у розробку теоретичних основ МКЕ внесли і російські вчені. В.Г. Корнєєв вказав на збіг математичної суті МКЕ і ВРМ. Зіставлення МКЕ з низкою варіаційних методів наведено в працях Л.А. Розіна. Під керівництвом А.С. Сахарова розроблена моментная схема кінцевих елементів.
З розвитком обчислювальних засобів можливості методу постійно розширюються, також розширюється і клас вирішуваних завдань. Практично всі сучасні розрахунки на міцність проводять, використовуючи метод кінцевих елементів.
. 2 Метод кінцевих елементів. Введення локальної та глобальної нумерації вузлів
Метод кінцевих елементів є спосіб апроксимації неперервної функції дискретної моделлю, що представляє собою безліч значень заданої функції в кінцевому числі точок області її визначення в сукупності з кусково апроксимаціями цієї функції цієї функції на кінцевому числі підобластей. Дані області називаються кінцевими елементами. Локальна апроксимація на кожному кінцевому елементі єдиним чином визначається значенням цієї функції в кінцевому числі попередньо обраних точок області її визначення. Таким чином, при побудові звичайно елементної моделі заданої функції поступають таким чином:
. В області визначення функції фіксують кінцеве число точок і визначають значення функції в цих точках. Вибрані точки звуться вузлових точок або вузлів.
. Область визначення функції наближено представляють у вигляді сукупності кінцевого числа непересічних подобластей, званих кінцевими елементами. Таким чином, областю визначення функції є сукупність кінцевих елементів, пов'язаних між собою у вузлах.
. Задану функцію локально апроксимують на кожному кінцевому елементі безперервними функціями, однозначно обумовленими значеннями функціями у вузлових точках, що належать цим елементам.
Важливою особливістю методу скінченних елементів є те, що спочатку при локальній апроксимації функції на кінцевих елементах їх можна розглядати незалежно один від одного. Це означає, що кожен...
