ахуванням визначення запишемо співвідношення в такій формі:
де; ; за відповідними повторюваним індексам проводиться підсумовування; n - номер ізольованого елемента.
Перетворимо роботу внутрішніх напружень кінцевого елемента в лівій частині співвідношення:
Прирівнюючи члени при рівних варіаціях, приходимо до рівнянь рівноваги кінцевого елемента:
Запишемо у вигляді відповідної системи з шести рівнянь:
Уявімо зв'язок між напругою і деформаціями у вигляді закону Гука:
Відзначимо, що подинтегрального вираження є постійними і можуть бути винесені за знак інтеграла. Площа кінцевого елемента позначимо через. Перепишемо перше рівняння системи згрупувавши доданки перед відповідними вузловими переміщеннями:
З аналітичної геометрії відомо, що площа трикутника на площині може бути обчислена як визначник матриці, складений з координат вершин трикутника:
з урахуванням, що нумерація вершин трикутника здійснюється проти годинникової стрілки. При нумерації у зворотному напрямку відповідний визначник матиме від'ємне значення. Цим фактом в принципі і пояснюється домовленість про вибір напрямку локальної нумерації вузлів, хоча на результат розрахунків це ніяк не впливає. Природно, що напрямок нумерації має бути одним і тим же для всіх елементів конечноелементной моделі.
Запишемо зв'язок між вузловими переміщеннями і вузловими силами для n-ого кінцевого елемента в матричному вигляді:
За сформованою термінології матриця носить назву матриці жорсткості елемента. При заданому векторі вузлових сил з рівняння може бути знайдений вектор вузлових переміщень. Відзначимо, що в вузловій точці можуть бути задані вузлові переміщення, а так само вузлова сила в одному напрямку і вузлове переміщення в напрямку йому ортогональному. У цих випадках необхідно перетворити систему, перенісши невідомі компоненти вузлових сил в ліву частину системи, а обчислювані компоненти лівій частині в стовпець вільних членів. При завданні вузлових компонент для кінцевого елемента необхідно пам'ятати, що граничні умови повинні забезпечувати рівновагу кінцевого елемента.
.4 Рівновага системи кінцевих елементів
Як правило, реальні конструкції складаються більш ніж з одного елемента. У цьому випадку умова рівноваги кінцевого елемента переноситься на кожен елемент з ансамблю кінцевих елементів, що утворюють деформируемое тіло. Таким чином, рівновага тіла визначається наступним рівнянням:
де - кількість елементів, що утворюють тіло;
- площа -ого кінцевого елемента.
Однак, безпосередньо застосування недоцільно, тому для кожного елемента маємо шестеро рівнянь, і необхідно систему доповнити зв'язками на локальні вузлові переміщення і вузлові сили. Тому застосовують перехід від локальної нумерації переміщень і вузлових сил до глобальної. Розглянемо відповідне перетворення для правої частини системи:
де - кількість вузлів у глобальній моделі;.
Під проекцією глобальної вузловий сили розуміється сума всіх локальних проекцій вузлових сил належать даному вузлу. В якості прикладу розглянемо конечноелементную модель, показану на малюнках 1 і 2. Глобальний вузол 2 є загальним для трьох елементів. Для першого елемента він збігається з першим локальним вузлом, для другого - з його першим локальним вузлом, а для третього елемента - з третім локальним вузлом. Відзначимо, що якщо глобальний вузол є внутрішнім, то.
У силу безперервності вектора переміщень в точці зв'язку кінцевих елементів запишемо праву частину співвідношення через глобальні вузлові переміщення:
де компоненти вектора глобальних переміщень; пов'язані до з глобальними вузловими переміщеннями наступним чином:,
- номер координатної осі, - глобальний номер вузла;
- локальна матриця жорсткості елемента в якому вершини мають глобальну нумерацію.
Локальна матриця жорсткості має розмірність. Компоненти матриці дорівнюють нулю за винятком тридцяти шести компонент відповідних матриці, утвореною при використанні локальної нумерації вузлів.
З подання отримуємо зв'язок між матрицями жорсткості елементів і глобальної матрицею жорсткості:
Таким чином, приходимо до наступного алгоритму збірки матриці жорсткості:
. Тріангуліровать задану область. Ввести локальну і глобальну нумерацію вузлів елементів.
. Для кожного елемента визначити локальні функції форми
3.Определить коефіцієнти локальної матриці жорсткості для кожного елемента.
.Зная кількість глобальних вузлів, сформувати матрицю розміром.
.Преобразовать локальні матриці жорсткості в матриці жорстк...
