="justify"> Автономна система ДУ
прі.
2.12 Використання диференціальних рівнянь для вирішення економічних завдань
Диференціальні рівняння знаходять досить широке застосування в моделях економічної динаміки, в яких відображається не тільки залежність змінних від часу, але і їх взаємозв'язок в часі.
Приклад 1.
Розглянемо процес зростання грошової суми, покладеної в банк за умови нарахування 100 r складних відсотків на рік. Нехай позначає початкову грошову суму, а --- грошову суму після закінчення років.
Якби відсотки нараховувалися один раз на рік, ми б мали
де
Якби відсотки нараховувалися два рази на рік (після закінчення кожного півріччя), то ми б мали
де
Взагалі, якщо відсотки нараховуються раз на рік і приймає послідовно значення
Тоді тобто.
Якщо позначити, то попереднє рівність перепишеться так
.
Необмежено збільшуючи (при) ми в межі приходимо до процесу зростання грошової суми при безперервному нарахуванні відсотків
,
тобто при безперервному зміну закон зростання виражений диференціальним рівнянням 1-го порядку. Відзначимо для чіткості, що --- невідома функція, --- незалежна змінна, --- постійна. Для вирішення даного рівняння перепишемо його таким чином:
звідки, або, де через позначено.
Враховуючи початкова умова, знайдемо:, отже,.
Рішення має вигляд:.
Приклад 2.
Знайти функцію попиту, якщо і. Еластичність попиту (щодо ціни) визначається формулою
.
--- первісне значення ціни,
--- первісне значення обсягу попиту.
З визначення еластичності випливає, що, тобто шукана функція задається рівнянням із перемінними. Вирішуючи це рівняння, отримуємо.
Враховуючи початкова умова, маємо. Остаточно.
Вправи.
) У селищі з населенням 3000 осіб поширення епідемії грипу (без застосування екстрених санітарно-профілактичних заходів) описуваних рівнянням, де - число захворілих у момент часу;- Число тижнів. Скільки хворих буде в селищі через два тижні, якщо в початковий момент було троє хворих?
) Функція попиту та пропозиції мають вигляд:
,.
Знайти залежність рівноважної ціни від часу, якщо в початковий момент.
У найпростіших ситуаціях попит на товар (пропозиція товару) передбачається залежних від його ціни. У більш складних випадках в розрахунок приймається також залежність попиту (пропозиції) від швидкості зміни ціни.
) Знайти функцію доходу, якщо відомо, що величина споживання задається функцією; коефіцієнт капіталомісткості пророста доходу,.
--- одиниця часу.
Коефіцієнт капіталомісткості --- ставлення застосовуваного у виробничому процесі, фірмі чи галузі капіталу до обсягу випуску протягом певного періоду часу, як правило, одного року.
Відповіді до вправ.
) 2) 3).
3. Тест
Знайти диференціал функцій:
a) b) c) d)
)) b) c) d)
)) b)) d)
)) b) c))
)) b) c) d)
)) b) c) d)
)) b) c) d)
)) b) c) d)
9)) b) c) d)
)) b) c) d)
Відповіді до тесту: 1) a 2) c 3) b 4) a 5) d 6) b 7) a 8) c 9) b 10) d
Використана література
1. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Вища математика у вправах і завданнях.// М., Вища школа. 1 986 (у 2 - х томах).
. Под ред. проф. В.І. Єрмакова. Збірник завдань з вищої математики.// М., Инфра - М., 2 001.
. Васильєв А.А. Практикум з вищої математики. Аналітична геометрія. ч. 2. Межі послідовностей.// Сиктивкар, 2007.
. Лунгу К.Н., Письмовий Д.Т., Федін С.Н., Шевченко Ю.А. Збірник завдань з вищої математики.// М., Айріс Пресс, +2001.
. Смирнов В.І. Курс вищої математики, том 3, частина 1 (10-е видання).// М .: Наука, 1974
