ustify"> Рівняння може бути зведене до однорідного:
якщо однорідні функції ступеня.
Приклади.
.
Вправи.
)
).
Відповіді до вправ.
) 2).
2.6 Лінійні ДУ першого порядку
.
Зробимо заміну
, т. к..
Приклад.
Вправи.
1)
).
Відповіді до вправ.
1) 2).
2.7 ДУ Другого порядку, що допускають зниження порядку
У деяких випадках рішення ДУ другого порядку може бути зведене до послідовного розв'язування двох ДУ першого порядку. Тоді кажуть, що ДУ допускає зниження порядку.
.
Рівняння можна переписати у вигляді
Приклад.
.
.
прі.
звідси знаходимо
.
Приклад.
.
прі.
знаходимо
.
ПРИКЛАД.
Вправи.
1)
)
).
Відповіді до вправ.
) 2) 3).
. 8 Лінійні ДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами
однорідне ДУ.
неоднорідне ДУ.
2.9 Однорідні лінійні ДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами
Шукаємо рішення Ейлера:
де
характеристичне рівняння ДУ (*).
Коріння характеристичного рівняння і лінійно незалежні рішення ДУ (*)
при маємо
лінійно незалежні рішення.
при
лінійно незалежні рішення.
при
лінійно незалежні рішення.
.
Теорема. Якщо два лінійно незалежних рішення ДУ (*), то загальне рішення (*) має вигляд: де довільні постійні.
. 10 Неоднорідні лінійні ДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами
Метод варіації довільних сталих.
Рішення шукаємо у вигляді лінійної комбінації рішень (*), де довільні постійні є функціями від:
функції і знаходимо, вирішуючи систему з двох рівнянь:
,
Приклад 1.
де спільне рішення (*), приватне рішення (**).
Теорема. Загальне рішення ДУ (**) дорівнює сумі загального рішення однорідного ДУ (*) і приватного рішення неоднорідного ДУ (**).
Приватні рішення неоднорідного ДУ (**) для деяких видів правій частині.
) Права частина.
Приватне рішення
де кратність як кореня характеристичного рівняння (+).
Приклад 2.
.
) Права частина.
Приватне рішення
де кратність як кореня характеристичного рівняння (+).
Приклад 3.
.
) Права частина
Приватне рішення,
де кратність як кореня характеристичного рівняння (+).
Приклад 4.
.
) Права частина.
Приватне рішення,
де кратність, як кореня характеристичного рівняння (+), ступінь дорівнює найбільшою зі ступенів многочленів.
Вправи.
1)
)
).
Відповіді до вправ.
)
)
).
2.11 Система диференціальних рівнянь
Нормальна система ДУ при
.
Іноді система ДУ зводиться до ДУ більш високого порядку, залежного тільки від однієї функції:
.
