br />
відповідають поворотам навколо осі
б) Осями симетрії третього порядку є діагоналі куба. Навколо кожної з чотирьох діагоналей [1,7], [2, 8], [3, 5], [4, 6] є по два нетотожні обертання на кути 2?/3, 4?/3. Наприклад, обертання навколо діагоналі [1, 7] визначають такі перестановки вершин куба:
Всього отримуємо 8 таких обертань.
в) Осями симетрії другого порядку будуть прямі, що з'єднують середини протилежних ребер куба. Мається шість пар протилежних ребер (наприклад, [1,2], [7, 8]), кожна пара визначає одну вісь симетрії, тобто. Е. Отримуємо 6 осейсиметрії другого порядку. Навколо кожної з цих осей є одне нетотожне обертання. Всього 6 обертань. Разом з тотожним перетворенням отримуємо 9 + 8 + 6 + 1=24 різних обертання. Всі обертання куба вказані. Обертання куба визначають перестановки на множинах його вершин, ребер, граней і діагоналей. Розглянемо, як діє група обертань куба на безлічі його діагоналей. Різні обертання куба переставляють діагоналі куба по-різному, т. Е. Їм відповідають різні перестановки на безлічі діагоналей. Тому група обертань куба визначає групу перестановок на безлічі діагоналей, що складається з 24 перестановок. Оскільки куб має лише 4 діагоналі, група всіх таких перестановок збігається з симетричної групою на безлічі діагоналей. Отже, будь-яка перестановка діагоналей куба відповідає деякому його обертанню, причому різним перестановок відповідають різні обертання.
Наведемо тепер всю групу симетрій куба. Куб має три площини симетрії, що проходять через його центр. Симетрії щодо цих площин у поєднанні з усіма обертаннями куба дають нам ще 24 перетворення, що є самосовмещеніямі куба. Тому повна група симетрій куба складається з 48 перетворень.
Група симетрій октаедра. Октаедр один з п'яти правильних багатогранників. Його можна отримати, поєднуючи центри граней куба і розглядаючи тіло, обмежене площинами, які визначаються сполучними прямими для сусідніх граней (рис. 3). Тому будь-яка симетрія куба одночасно є симетрією октаедра і навпаки. Таким чином, група симетрій октаедра така ж, як і група симетрій куба, і складається з 48 перетворень.
Група симетрій правильного багатогранника складається з 2l перетворень, де l - число його плоских кутів. Це твердження має місце для всіх правильних багатогранників, його можна довести в загальному вигляді, не знаходячи всіх симетрій багатогранників.
Глава 2. Лемма Бернсайда про кількість орбіт
§1. Формулювання і доказ
Лемма Бернсайда обчислює кількість орбіт дії групи на безлічі за допомогою суми по всіх елементах групи. Вона застосовується в тому випадку, коли порядок множини X набагато більше, ніж порядок групи G.
Нехай G - перестановок на безлічі Підмножина називається орбітою групи G, якщо
а) для будь-якого і будь-якого; тобто дію перестановок з G на елементи O не виводить за межі О;
б) два елементи з О можна перевести один в одного деякою перестановкою з G.
Всяка група перестановок G={має орбіти.
Для доказу виберемо довільний елемент і розглянемо безліч Воно буде орбітою групи G, так як
а) якщо так як
б) якщо і довільні елементи з то і при цьому так як G група.
Виявляється, що орбітами подібного виду вичерпуються всі типи орбіт. Більш точно, якщо Про орбіта групи G і, то=(а). Справедливість цього твердження випливає безпосередньо з визначення орбіти групи.
Ясно, що будь-які дві орбіти О (а) і О (b) або збігаються (якщо b О (а)), або не перетинаються (якщо b O (а)). Звідси випливає, що безліч М розпадається в об'єднання непересічних підмножин - орбіт групи G. Зокрема, може статися, що єдиною орбітою групи G буде саме безліч М. Групи з такою властивістю називаються транзитивними. Таким чином, група перестановок G на безлічі М транзитивна, якщо будь-який елемент а М може бути отриманий з будь-якого іншого елемента b М під дією відповідним способом обраної перестановки:. Всі інші групи перестановок називаються інтранзітівнимі.
Нехай число нерухомих точок перестановки, число орбіт групи перестановок діючої на безлічі
Лемма Бернсайда: Для будь-якої групи перестановок має місце рівність
Доказ: Розглянемо ставлення «перестановка зберігає нерухомим елемент m» між перестановками групи G і елементами безлічі М. Зіставимо парам (, т),, m, вершини прямокутної мережі і відзначимо ті з них, для яких відповідна пара (, т) знаходиться в зазначеному відношенні, т. е. m (a)=т (рис. 4)...
