рій тетраедра.
Тетраедр (рис. 1) має 4 осі симетрії l1, l2, l3, l4 третій порядку, що проходять через його вершини 1, 2, 3, 4 і центри протилежних граней. Навколо кожної осі, крім тотожного, можливі ще два обертання. Їм відповідають такі перестановки:
навколо осі l1
навколо осі l2
навколо осі l3
навколо осі l4
Крім того, є 3 осі симетрії 2-го порядку, які проводять через середини А, В, С, D, Е, F перехресних ребер. Тому є ще 3 (по числу пар перехресних ребер) нетотожні перетворення, яким відповідають перестановки:
навколо осі AB,
навколо осі CD,
навколо осі EF.
Отже, разом із тотожним перетворенням отримуємо 12 перестановок. При зазначених перетвореннях тетраедр самосовмещяется, повертаючись в просторі; його точки при цьому не змінюють свого положення відносно один одного. Сукупність виписаних 12 перестановок замкнута щодо множення, оскільки послідовне виконання обертань тетраедра знову буде обертанням. Таким чином, отримуємо, групу, яка називається групою обертань тетраедра.
При інших перетвореннях простору, що є самосовмещеніямі тетраедра, внутрішні точки тетраедра пересуваються відносно один одного. А саме: тетраедр має 6 площин симетрії, кожна з яких проходить через одне з його ребер і середину протилежного ребра. Симетрії щодо цих площин відповідають наступні транспозиції на множині вершин тетраедра:
ПлоскостьТранспозіціяребро (2, 3), точка A (1, 4) ребро (2, 4), точка C (1, 3) ребро (1, 2), точка E (3, 4) ребро (1, 4), точка B (2, 3) ребро (1, 3), точка D (2, 4) ребро (3, 4), точка F (1, 2)
Вже па підставі цих даних можна стверджувати, що група всіляких симетрій тетраедра складається з 24 перетворень. Справді, кожна симетрія, самосовмещая тетраедр в цілому, повинна якось переставляти його вершини, ребра і грані. Зокрема в даному випадку симетрії можна характеризувати перестановками вершин тетраедра. Оскільки тетраедр має 4 вершини, його група симетрій не може складатися більше ніж з 24 перетворень. Іншими словами, вона або збігається з симетричної групою S4, або є її підгрупою. Виписані вище симетрії тетраедра щодо площин визначають всілякі транспозиції на безлічі його вершин. Оскільки ці транспозиції породжують симметрическую групу S4, отримуємо необхідну. Таким чином, будь перестановка вершин тетраедра визначається деякої його симетрією. Однак цього не можна сказати про довільній перестановці ребер тетраедра. Якщо домовитися позначати кожне ребро тетраедра тією ж буквою, що і його середину, то, скажімо, перестановки на безлічі ребер
відповідають відповідно двом обертанням навколо осі l1, і обертанню навколо осі АB. Виписавши перестановки на множині {А, В. С, D, Е, F} для всіх перетворень симетрії, отримаємо деяку підгрупу симетричної групи S6, що складається з 24 перестановок. Група перестановок вершин тетраедра і група перестановок його ребер - різні групи перестановок, оскільки вони діють на різних множинах. Але за ними «видна» одна і та ж група - група перетворень простору, що залишають тетраедр на місці.
Група симетрій куба. Симетрії куба, як і симетрії тетраедра, діляться на два типи - самосовмещенія, при яких точки куба не змінюють свого положення відносно один одного, і перетворення, що залишають куб в цілому на місці, але передвигающие його точки відносно один одного. Перетворення першого типу будемо називати обертаннями. Всі обертання утворюють групу, яка називається групою обертань куба.
Мається рівно 24 обертання куба навколо різних осей симетрії.
Справді, при поворотах куба місце нижній грані може зайняти будь-яка з 6 граней куба (рис. 2). Для кожної з 6 можливостей - коли вказано, яка саме грань розташована внизу, - мається 4 різних розташування куба, відповідних його поворотам навколо осі, що проходить через центри верхньої та нижньої граней, на кути 0,?/2,?, З?/2. Таким чином, отримуємо 6? 4=24 обертань куба. Вкажемо їх в явному вигляді.
Куб має центр симетрії (точка перетину його діагоналей), 3 осі симетрії четвертого порядку, 4 осі симетрії третього порядку і 6 осейсиметрії другого порядку. Досить розглянути обертання навколо осей симетрії.
а) Осі симетрії четвертого порядку -це осі проходять через центри протилежних граней. Навколо кожної з цих осей є по три нетотожних обертання, а саме обертання на кути?/2,? , 3?/2. Цим обертанням відповідають 9 перестановок вершин куба, при яких вершини протилежних граней переставляються циклічно і узгоджено. Наприклад, перестановки
<...
